Se é uma matriz quadrada tal que , prove que é invertível e determine em função de .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz quadrada que satisfaz a equação . Nosso objetivo é mostrar que é invertível e encontrar sua inversa em termos de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra de matrizes, especificamente sobre matriz inversa e manipulação de equações matriciais.

Passo 2

Para provar que é invertível, precisamos encontrar uma matriz tal que , onde é a matriz identidade. A equação dada é:
Podemos rearranjar essa equação para isolar termos que nos ajudem a encontrar a inversa.

Passo 3

Subtraindo :
Agora, queremos expressar em termos de para encontrar .

Passo 4

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por :
Isso fica:

Passo 5

Agora, observamos que é a matriz que, quando multiplicada por , resulta na identidade. Comparando com a equação acima, podemos identificar :

Resposta

Assim, a matriz é invertível e sua inversa é dada por:

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Sejam e matrizes que satisfazem o seguinte: . Considere as seguintes afirmações:
(I) é inversível;
(II) é inversível;
(III) .
Quais delas são verdadeiras?
a. Somente .
Encontre a inversa de cada matriz abaixo:
d.
Determine, justificando, se é verdadeiro ou falso que, se é uma matriz ortogonal e é um escalar não nulo, então também é ortogonal.
Sejam A, B e C matrizes quadradas. Determine se as seguintes proposições são V ou F, demonstrando quando verdadeiras ou dando um contra-exemplo se falsas.
a) Se e são tais que , então .
b)
c)
d) Se e são matrizes simétricas, então é simétrica.
e) Se e são matrizes anti-simétricas, então é anti-simétrica.
f) Se e são matrizes simétricas, então é simétrico.
g) Se então é a matriz nula.
h) Se é uma matriz invertível, então .
i) , para todo par de matrizes quadradas e .
j) .