Se é uma matriz quadrada tal que , prove que é invertível e determine em função de .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz quadrada que satisfaz a equação . Nosso objetivo é mostrar que é invertível e encontrar sua inversa em termos de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra de matrizes, especificamente sobre matriz inversa e manipulação de equações matriciais.
Passo 2
Para provar que é invertível, precisamos encontrar uma matriz tal que , onde é a matriz identidade. A equação dada é:
Podemos rearranjar essa equação para isolar termos que nos ajudem a encontrar a inversa.
Passo 3
Subtraindo :
Agora, queremos expressar em termos de para encontrar .
Passo 4
Vamos multiplicar ambos os lados da equação por :
Isso fica:
Passo 5
Agora, observamos que é a matriz que, quando multiplicada por , resulta na identidade. Comparando com a equação acima, podemos identificar :
Resposta
Assim, a matriz é invertível e sua inversa é dada por: