Se A é uma matriz quadrada tal que A^2+A+2 In=0, prove que A é invertível e determine A^-1 em função de A.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz quadrada que satisfaz a equação . Nosso objetivo é mostrar que é invertível e encontrar sua inversa em termos de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra de matrizes, especificamente sobre matriz inversa e manipulação de equações matriciais.

Passo 2

Para provar que A^2 + A + 2In = 0 é invertível, precisamos encontrar uma matriz tal que , onde é a matriz identidade. A equação dada é:
Podemos rearranjar essa equação para isolar termos que nos ajudem a encontrar a inversa.

Passo 3

Subtraindo A^2 + A = -2In :
Agora, queremos expressar em termos de para encontrar .

Passo 4

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por -12(A^2 + A) = In :
-12A^2 - 12A = In
Isso fica:

Passo 5

Agora, observamos que A^-1 = -12A - 12In é a matriz que, quando multiplicada por , resulta na identidade. Comparando com a equação acima, podemos identificar :

Resposta

Assim, a matriz A^-1 = -12A - 12In é invertível e sua inversa é dada por:

Exercícios relacionados