Se
é uma matriz quadrada tal que
, prove que
é invertível e determine
em função de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz quadrada
que satisfaz a equação
. Nosso objetivo é mostrar que
é invertível e encontrar sua inversa
em termos de
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra de matrizes, especificamente sobre matriz inversa e manipulação de equações matriciais.
Passo 2
Para provar que
é invertível, precisamos encontrar uma matriz
tal que
, onde
é a matriz identidade. A equação dada é:
Podemos rearranjar essa equação para isolar termos que nos ajudem a encontrar a inversa.
Passo 3
Subtraindo
:
Agora, queremos expressar
em termos de
para encontrar
.
Passo 4
Vamos multiplicar ambos os lados da equação por
:
Isso fica:
Passo 5
Agora, observamos que
é a matriz que, quando multiplicada por
, resulta na identidade. Comparando com a equação acima, podemos identificar
:
Resposta
Assim, a matriz
é invertível e sua inversa é dada por: