Determine, justificando, se é verdadeiro ou falso que, se
é uma matriz ortogonal e
é um escalar não nulo, então
também é ortogonal.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se, quando multiplicamos uma matriz ortogonal
por um escalar não nulo
, o resultado
continua sendo uma matriz ortogonal. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma matriz ortogonal e como a multiplicação por um escalar afeta essa propriedade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz ortogonal. Uma matriz
é ortogonal se satisfaz a seguinte condição:
onde
é a transposta de
e
é a matriz identidade. Isso significa que as colunas de
são vetores ortonormais, ou seja, são perpendiculares entre si e têm comprimento 1.
Passo 3
Agora, queremos saber se
também é ortogonal. Para isso, vamos verificar se
. Primeiro, calculamos a transposta de
:
Em seguida, multiplicamos
por
:
Mas sabemos que
, então:
Isso implica que:
Passo 4
A equação
tem soluções
ou
. Ou seja, para que
seja uma matriz ortogonal, o escalar
precisa ser
ou
.
Passo 5
Porém, o enunciado nos diz que
é um escalar não nulo qualquer. Isso significa que
pode ser qualquer número real diferente de zero, não necessariamente
ou
.
Resposta
Falso. A multiplicação de uma matriz ortogonal por um escalar não preserva a ortogonalidade, a menos que o escalar seja
ou
.
Exercícios relacionados
Se
é uma matriz quadrada tal que
, prove que
é invertível e determine
em função de
.
Sejam
e
matrizes
que satisfazem o seguinte:
. Considere as seguintes afirmações:
(I) é inversível;
(II) é inversível;
(III) .
Quais delas são verdadeiras?
a. Somente .
(I)
(II)
(III)
Quais delas são verdadeiras?
a. Somente
Sejam A, B e C matrizes quadradas. Determine se as seguintes proposições são V ou F, demonstrando quando verdadeiras ou dando um contra-exemplo se falsas.
a) Se e
são tais que
, então
.
b)
c)
d) Se e
são matrizes simétricas, então
é simétrica.
e) Se e
são matrizes anti-simétricas, então
é anti-simétrica.
f) Se e
são matrizes simétricas, então
é simétrico.
g) Se então
é a matriz nula.
h) Se é uma matriz invertível, então
.
i) , para todo par de matrizes quadradas
e
.
j) .
a) Se
b)
c)
d) Se
e) Se
f) Se
g) Se
h) Se
i)
j)
Determine se afirmação é verdadeira ou falsa justificando a resposta.
( ) Cada subespaço de um espaço vetorial é ele mesmo, um espaço vetorial.
( ) Cada espaço vetorial é um subespaço de si mesmo.
( ) O conjunto das soluções de um sistema linear consistente de
equações em
incógnitas é um subespaço de
.
( ) A interseção de dois subespaços quaisquer de um espaço vetorial é um espaço vetorial de
.
( ) A união de dois subespaços quaisquer de um espaço vetorial é um espaço vetorial de
.
( ) O plano passando pela a origem é subespaço vetorial real;
( ) O primeiro quadrante é subespaço vetorial real;
( ) não é um subespaço vetorial de
.
( ) A afirmação
( ) Se , então as soluções do sistema
não formam um subespaço do Rn.
( ) Cada subespaço de um espaço vetorial é ele mesmo, um espaço vetorial.
( ) Cada espaço vetorial é um subespaço de si mesmo.
( ) O conjunto das soluções de um sistema linear consistente
( ) A interseção de dois subespaços quaisquer de um espaço vetorial
( ) A união de dois subespaços quaisquer de um espaço vetorial
( ) O plano passando pela a origem é subespaço vetorial real;
( ) O primeiro quadrante é subespaço vetorial real;
( )
( ) A afirmação
( ) Se