Determine, justificando, se é verdadeiro ou falso que, se
é uma matriz ortogonal e
é um escalar não nulo, então
também é ortogonal.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se, quando multiplicamos uma matriz ortogonal
por um escalar não nulo
, o resultado
continua sendo uma matriz ortogonal. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma matriz ortogonal e como a multiplicação por um escalar afeta essa propriedade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz ortogonal. Uma matriz
é ortogonal se satisfaz a seguinte condição:
onde
é a transposta de
e
é a matriz identidade. Isso significa que as colunas de
são vetores ortonormais, ou seja, são perpendiculares entre si e têm comprimento 1.
Passo 3
Agora, queremos saber se
também é ortogonal. Para isso, vamos verificar se
. Primeiro, calculamos a transposta de
:
Em seguida, multiplicamos
por
:
Mas sabemos que
, então:
Isso implica que:
Passo 4
A equação
tem soluções
ou
. Ou seja, para que
seja uma matriz ortogonal, o escalar
precisa ser
ou
.
Passo 5
Porém, o enunciado nos diz que
é um escalar não nulo qualquer. Isso significa que
pode ser qualquer número real diferente de zero, não necessariamente
ou
.
Resposta
Falso. A multiplicação de uma matriz ortogonal por um escalar não preserva a ortogonalidade, a menos que o escalar seja
ou
.