Determine, justificando, se é verdadeiro ou falso que, se é uma matriz ortogonal e é um escalar não nulo, então também é ortogonal.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se, quando multiplicamos uma matriz ortogonal por um escalar não nulo , o resultado continua sendo uma matriz ortogonal. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma matriz ortogonal e como a multiplicação por um escalar afeta essa propriedade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz ortogonal. Uma matriz é ortogonal se satisfaz a seguinte condição:
onde é a transposta de e é a matriz identidade. Isso significa que as colunas de são vetores ortonormais, ou seja, são perpendiculares entre si e têm comprimento 1.

Passo 3

Agora, queremos saber se também é ortogonal. Para isso, vamos verificar se . Primeiro, calculamos a transposta de :
Em seguida, multiplicamos por :
Mas sabemos que , então:
Isso implica que:

Passo 4

A equação tem soluções ou . Ou seja, para que seja uma matriz ortogonal, o escalar precisa ser ou .

Passo 5

Porém, o enunciado nos diz que é um escalar não nulo qualquer. Isso significa que pode ser qualquer número real diferente de zero, não necessariamente ou .

Resposta

Falso. A multiplicação de uma matriz ortogonal por um escalar não preserva a ortogonalidade, a menos que o escalar seja ou .

Exercícios relacionados

Se é uma matriz quadrada tal que , prove que é invertível e determine em função de .
Sejam e matrizes que satisfazem o seguinte: . Considere as seguintes afirmações:
(I) é inversível;
(II) é inversível;
(III) .
Quais delas são verdadeiras?
a. Somente .
Sejam A, B e C matrizes quadradas. Determine se as seguintes proposições são V ou F, demonstrando quando verdadeiras ou dando um contra-exemplo se falsas.
a) Se e são tais que , então .
b)
c)
d) Se e são matrizes simétricas, então é simétrica.
e) Se e são matrizes anti-simétricas, então é anti-simétrica.
f) Se e são matrizes simétricas, então é simétrico.
g) Se então é a matriz nula.
h) Se é uma matriz invertível, então .
i) , para todo par de matrizes quadradas e .
j) .
Determine se afirmação é verdadeira ou falsa justificando a resposta.
( ) Cada subespaço de um espaço vetorial é ele mesmo, um espaço vetorial.
( ) Cada espaço vetorial é um subespaço de si mesmo.
( ) O conjunto das soluções de um sistema linear consistente de equações em incógnitas é um subespaço de .
( ) A interseção de dois subespaços quaisquer de um espaço vetorial é um espaço vetorial de .
( ) A união de dois subespaços quaisquer de um espaço vetorial é um espaço vetorial de .
( ) O plano passando pela a origem é subespaço vetorial real;
( ) O primeiro quadrante é subespaço vetorial real;
( ) não é um subespaço vetorial de .
( ) A afirmação
( ) Se , então as soluções do sistema não formam um subespaço do Rn.