Determine, justificando, se é verdadeiro ou falso que, se A é uma matriz ortogonal e lambda é um escalar não nulo, então lambda A também é ortogonal.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se, quando multiplicamos uma matriz ortogonal por um escalar não nulo , o resultado continua sendo uma matriz ortogonal. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma matriz ortogonal e como a multiplicação por um escalar afeta essa propriedade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz ortogonal. Uma matriz A^T cdot A = I é ortogonal se satisfaz a seguinte condição:
onde é a transposta de e é a matriz identidade. Isso significa que as colunas de são vetores ortonormais, ou seja, são perpendiculares entre si e têm comprimento 1.

Passo 3

Agora, queremos saber se (lambda A)^T = lambda A^T também é ortogonal. Para isso, vamos verificar se (lambda A)^T cdot (lambda A) = lambda A^T cdot lambda A = lambda^2 (A^T cdot A) . Primeiro, calculamos a transposta de lambda^2 I = I :
lambda^2 = 1
Em seguida, multiplicamos por :
Mas sabemos que , então:
Isso implica que:

Passo 4

A equação tem soluções ou . Ou seja, para que seja uma matriz ortogonal, o escalar precisa ser ou .

Passo 5

Porém, o enunciado nos diz que é um escalar não nulo qualquer. Isso significa que pode ser qualquer número real diferente de zero, não necessariamente ou .

Resposta

Falso. A multiplicação de uma matriz ortogonal por um escalar não preserva a ortogonalidade, a menos que o escalar seja ou .

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