Sejam A, B e C matrizes quadradas. Determine se as seguintes proposições são V ou F, demonstrando quando verdadeiras ou dando um contra-exemplo se falsas.
a) Se A e B são tais que A B=0, então B A=0.
b) A^2-B^2=(A+B)(A-B)
c) (A+B)^2=A^2+2 A B+B^2
d) Se A e B são matrizes simétricas, então A+B é simétrica.
e) Se A e B são matrizes anti-simétricas, então A+B é anti-simétrica.
f) Se A e B são matrizes simétricas, então A B é simétrico.
g) Se tr(A A^t)=0 então A é a matriz nula.
h) Se P é uma matriz invertível, então tr(P A P^-1)=tr(A).
i) (A-B)^2=(B-A)^2, para todo par de matrizes quadradas A e B.
j) tr(A^2)=(tr(A))^2.

Passo 1

Vamos começar entendendo a proposição a): “Se e são tais que , então .” Aqui estamos lidando com multiplicação de matrizes e propriedades de matrizes quadradas. Precisamos verificar se o fato de ser a matriz nula implica que também seja nula.

Passo 2

Para resolver isso, vamos lembrar que a multiplicação de matrizes não é comutativa em geral, ou seja, pode não ser igual a . Portanto, apenas porque , não necessariamente .

Passo 3

Vamos dar um exemplo para ilustrar isso. Considere as matrizes:
A = 1 & 0 0 & 0 , B = 0 & 0 1 & 0
Calculando AB = 1 cdot 0 + 0 cdot 1 & 1 cdot 0 + 0 cdot 0 0 cdot 0 + 0 cdot 1 & 0 cdot 0 + 0 cdot 0 = 0 & 0 0 & 0 :
BA = 0 cdot 1 + 0 cdot 0 & 0 cdot 0 + 0 cdot 0 1 cdot 1 + 0 cdot 0 & 1 cdot 0 + 0 cdot 0 = 0 & 0 1 & 0
Mas calculando :
Aqui, mas .

Passo 4

Portanto, a proposição a) é Falsa.

Passo 5

Agora, vamos para a proposição b): . Isso envolve álgebra de matrizes e a expansão de produtos.

Passo 6

Vamos expandir o lado direito:
(A+B)(A-B) = A(A-B) + B(A-B) = A^2 - AB + BA - B^2
Para que seja igual a , precisamos que , ou seja, .

Passo 7

No entanto, em geral, para matrizes quaisquer. Portanto, a igualdade só vale se e comutarem.

Passo 8

Assim, a proposição b) é Falsa, a menos que .

Passo 9

Passando para a proposição c): . Vamos verificar isso.

Passo 10

Expandindo o lado esquerdo:
(A+B)(A+B) = A^2 + AB + BA + B^2
Para que seja igual a , precisamos que , ou seja, .

Passo 11

Novamente, isso só acontece se e comutarem. Portanto, a igualdade não é geral.

Passo 12

Portanto, a proposição c) é Falsa, a menos que .

Passo 13

Continuando para a proposição d): “Se e são matrizes simétricas, então é simétrica.” Uma matriz simétrica satisfaz .

Passo 14

Vamos verificar se . Sabemos que .

Passo 15

Como (A+B)^t = A + B = A+B e são simétricas, e . Então:
Portanto, é simétrica.

Passo 16

Logo, a proposição d) é Verdadeira.

Passo 17

Agora, a proposição e): “Se e são matrizes anti-simétricas, então é anti-simétrica.” Uma matriz anti-simétrica satisfaz .

Passo 18

Vamos verificar . Sabemos que .

Passo 19

Como (A+B)^t = -A - B = - (A + B) e são anti-simétricas, e . Então:
Portanto, é anti-simétrica.

Passo 20

Assim, a proposição e) é Verdadeira.

Passo 21

Vamos para a proposição f): “Se e são matrizes simétricas, então é simétrico.” Queremos verificar se .

Passo 22

Sabemos que (AB)^t = BA . Como e são simétricas, isso fica:
Para que seja simétrico, precisamos que .

Passo 23

Entretanto, em geral, . Portanto, não é necessariamente simétrico.

Passo 24

Por exemplo, considere:
A = 1 & 0 0 & 2 , B = 0 & 1 1 & 0
Ambas são simétricas, mas:
AB = 0 & 1 0 & 2
(AB)^t = 0 & 0 1 & 2 neq AB

Passo 25

Portanto, a proposição f) é Falsa.

Passo 26

Agora, a proposição g): “Se então é a matriz nula.” Vamos analisar isso.

Passo 27

Sabemos que é uma matriz simétrica e positiva semidefinida. A trace é a soma dos elementos na diagonal, que é igual à soma dos quadrados dos elementos de .

Passo 28

Se , então todos os quadrados dos elementos de devem ser zero, o que implica que todos os elementos de são zero.

Passo 29

Portanto, é a matriz nula.

Passo 30

Logo, a proposição g) é Verdadeira.

Passo 31

Seguimos para a proposição h): “Se é uma matriz invertível, então .” Vamos verificar isso.

Passo 32

A propriedade importante aqui é que a trace é invariante por similaridade. Ou seja, .

Passo 33

Isso ocorre porque a multiplicação por e não altera os autovalores de , e a trace é a soma dos autovalores.

Passo 34

Portanto, a proposição h) é Verdadeira.

Passo 35

Agora, a proposição i): para todo par de matrizes quadradas e . Vamos verificar isso.

Passo 36

Expandindo ambos os lados:
(A - B)^2 = A^2 - AB - BA + B^2
(B - A)^2 = B^2 - BA - AB + A^2
Observamos que são iguais, pois .

Passo 37

Portanto, é sempre verdadeiro.

Passo 38

Logo, a proposição i) é Verdadeira.

Passo 39

Por fim, a proposição j): . Vamos analisar isso.

Passo 40

Sabemos que é a soma dos produtos correspondentes dos elementos de , enquanto é o quadrado da soma dos elementos da diagonal de .

Passo 41

De maneira geral, não é igual a . A igualdade só ocorre em casos específicos, como quando é uma matriz diagonal com apenas um elemento não nulo na diagonal.

Passo 42

Por exemplo, considere:
A = 1 & 1 0 & 1
Então:
tr(A) = 1 + 1 = 2
(tr(A))^2 = 4
A^2 = 1 & 2 0 & 1
tr(A^2) = 1 + 1 = 2
Aqui, .

Passo 43

Portanto, a proposição j) é Falsa.

Resposta

a) F
b) F
c) F
d) V
e) V
f) F
g) V
h) V
i) V
j) F

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