Sejam A, B e C matrizes quadradas. Determine se as seguintes proposições são V ou F, demonstrando quando verdadeiras ou dando um contra-exemplo se falsas.
a) Se
e
são tais que
, então
.
b)
c)
d) Se
e
são matrizes simétricas, então
é simétrica.
e) Se
e
são matrizes anti-simétricas, então
é anti-simétrica.
f) Se
e
são matrizes simétricas, então
é simétrico.
g) Se
então
é a matriz nula.
h) Se
é uma matriz invertível, então
.
i)
, para todo par de matrizes quadradas
e
.
j)
.
a) Se
b)
c)
d) Se
e) Se
f) Se
g) Se
h) Se
i)
j)
Passo 1
Vamos começar entendendo a proposição a): “Se
e
são tais que
, então
.” Aqui estamos lidando com multiplicação de matrizes e propriedades de matrizes quadradas. Precisamos verificar se o fato de
ser a matriz nula implica que
também seja nula.
Passo 2
Para resolver isso, vamos lembrar que a multiplicação de matrizes não é comutativa em geral, ou seja,
pode não ser igual a
. Portanto, apenas porque
, não necessariamente
.
Passo 3
Vamos dar um exemplo para ilustrar isso. Considere as matrizes:
Calculando
:
Mas calculando
:
Aqui,
mas
.
Passo 4
Portanto, a proposição a) é Falsa.
Passo 5
Agora, vamos para a proposição b):
. Isso envolve álgebra de matrizes e a expansão de produtos.
Passo 6
Vamos expandir o lado direito:
Para que seja igual a
, precisamos que
, ou seja,
.
Passo 7
No entanto, em geral,
para matrizes quaisquer. Portanto, a igualdade só vale se
e
comutarem.
Passo 8
Assim, a proposição b) é Falsa, a menos que
.
Passo 9
Passando para a proposição c):
. Vamos verificar isso.
Passo 10
Expandindo o lado esquerdo:
Para que seja igual a
, precisamos que
, ou seja,
.
Passo 11
Novamente, isso só acontece se
e
comutarem. Portanto, a igualdade não é geral.
Passo 12
Portanto, a proposição c) é Falsa, a menos que
.
Passo 13
Continuando para a proposição d): “Se
e
são matrizes simétricas, então
é simétrica.” Uma matriz simétrica satisfaz
.
Passo 14
Vamos verificar se
. Sabemos que
.
Passo 15
Como
e
são simétricas,
e
. Então:
Portanto,
é simétrica.
Passo 16
Logo, a proposição d) é Verdadeira.
Passo 17
Agora, a proposição e): “Se
e
são matrizes anti-simétricas, então
é anti-simétrica.” Uma matriz anti-simétrica satisfaz
.
Passo 18
Vamos verificar
. Sabemos que
.
Passo 19
Como
e
são anti-simétricas,
e
. Então:
Portanto,
é anti-simétrica.
Passo 20
Assim, a proposição e) é Verdadeira.
Passo 21
Vamos para a proposição f): “Se
e
são matrizes simétricas, então
é simétrico.” Queremos verificar se
.
Passo 22
Sabemos que
. Como
e
são simétricas, isso fica:
Para que
seja simétrico, precisamos que
.
Passo 23
Entretanto, em geral,
. Portanto,
não é necessariamente simétrico.
Passo 24
Por exemplo, considere:
Ambas são simétricas, mas:
Passo 25
Portanto, a proposição f) é Falsa.
Passo 26
Agora, a proposição g): “Se
então
é a matriz nula.” Vamos analisar isso.
Passo 27
Sabemos que
é uma matriz simétrica e positiva semidefinida. A trace
é a soma dos elementos na diagonal, que é igual à soma dos quadrados dos elementos de
.
Passo 28
Se
, então todos os quadrados dos elementos de
devem ser zero, o que implica que todos os elementos de
são zero.
Passo 29
Portanto,
é a matriz nula.
Passo 30
Logo, a proposição g) é Verdadeira.
Passo 31
Seguimos para a proposição h): “Se
é uma matriz invertível, então
.” Vamos verificar isso.
Passo 32
A propriedade importante aqui é que a trace é invariante por similaridade. Ou seja,
.
Passo 33
Isso ocorre porque a multiplicação por
e
não altera os autovalores de
, e a trace é a soma dos autovalores.
Passo 34
Portanto, a proposição h) é Verdadeira.
Passo 35
Agora, a proposição i):
para todo par de matrizes quadradas
e
. Vamos verificar isso.
Passo 36
Expandindo ambos os lados:
Observamos que são iguais, pois
.
Passo 37
Portanto,
é sempre verdadeiro.
Passo 38
Logo, a proposição i) é Verdadeira.
Passo 39
Por fim, a proposição j):
. Vamos analisar isso.
Passo 40
Sabemos que
é a soma dos produtos correspondentes dos elementos de
, enquanto
é o quadrado da soma dos elementos da diagonal de
.
Passo 41
De maneira geral,
não é igual a
. A igualdade só ocorre em casos específicos, como quando
é uma matriz diagonal com apenas um elemento não nulo na diagonal.
Passo 42
Por exemplo, considere:
Então:
Aqui,
.
Passo 43
Portanto, a proposição j) é Falsa.
Resposta
a) F
b) F
c) F
d) V
e) V
f) F
g) V
h) V
i) V
j) F
b) F
c) F
d) V
e) V
f) F
g) V
h) V
i) V
j) F