O máximo da distribuição espectral da potência irradiada por uma certa cavidade ocorre para o comprimento de onda de 24,0
(na região do infravermelho). A temperatura da cavidade é aumentada até que a potência total irradiada se torne duas vezes maior.
(a) Determine a nova temperatura da cavidade.
Resposta: 143 K
(b) Determine a nova posição do máximo da distribuição espectral. Resposta: 20, 2 um
(a) Determine a nova temperatura da cavidade.
Resposta: 143 K
(b) Determine a nova posição do máximo da distribuição espectral. Resposta: 20, 2 um
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma cavidade que emite radiação com o máximo de potência no comprimento de onda de 24,0
m, que está na região do infravermelho. A temperatura dessa cavidade é aumentada de forma que a potência total irradiada dobre. Para resolver isso, vamos usar duas leis principais da física: a Lei de Stefan-Boltzmann, que relaciona a potência total irradiada com a temperatura, e a Lei de Deslocamento de Wien, que nos ajuda a encontrar o novo comprimento de onda onde a potência é máxima após o aumento da temperatura.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a), que pede para determinar a nova temperatura da cavidade quando a potência total irradiada dobra. Para isso, usamos a Lei de Stefan-Boltzmann, que diz que a potência total irradiada (
) por uma superfície é proporcional à quarta potência da sua temperatura absoluta (
):
Aqui,
é a constante de Stefan-Boltzmann e
é a área da superfície. Como estamos comparando duas situações da mesma cavidade, a área
e a constante
permanecem constantes. Então, se a potência dobra, temos:
Dividindo as duas equações:
Simplificando:
Agora, isolando
:
Sabemos que
.
Então:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o valor de
. Porém, o enunciado não nos deu a temperatura antiga diretamente, mas sabemos que o máximo da distribuição ocorreu em
m. Vamos usar a Lei de Deslocamento de Wien para encontrar a temperatura antiga (
).
A Lei de Wien é dada por:
Onde
é a constante de deslocamento de Wien, aproximadamente
.
Rearranjando para
:
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora que temos
, podemos calcular
:
Passo 5
Pronto! Determinamos que a nova temperatura da cavidade é de aproximadamente 143 K.
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b), que pede para determinar a nova posição do máximo da distribuição espectral após o aumento da temperatura. Vamos novamente usar a Lei de Deslocamento de Wien:
Queremos encontrar a nova
chamada
, sabendo que a nova temperatura é
.
Rearranjando a fórmula:
Substituindo os valores:
Arredondando, temos cerca de 20,2 μm.
Resposta
(a) A nova temperatura da cavidade é de 143 K.
(b) A nova posição do máximo da distribuição espectral é de 20,2 μm.
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Resposta:
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b)
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