O máximo da distribuição espectral da potência irradiada por uma certa cavidade ocorre para o comprimento de onda de 24,0 mu m (na região do infravermelho). A temperatura da cavidade é aumentada até que a potência total irradiada se torne duas vezes maior.
(a) Determine a nova temperatura da cavidade.
Resposta: 143 K
(b) Determine a nova posição do máximo da distribuição espectral. Resposta: 20, 2 um

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma cavidade que emite radiação com o máximo de potência no comprimento de onda de 24,0  mum, que está na região do infravermelho. A temperatura dessa cavidade é aumentada de forma que a potência total irradiada dobre. Para resolver isso, vamos usar duas leis principais da física: a Lei de Stefan-Boltzmann, que relaciona a potência total irradiada com a temperatura, e a Lei de Deslocamento de Wien, que nos ajuda a encontrar o novo comprimento de onda onde a potência é máxima após o aumento da temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a), que pede para determinar a nova temperatura da cavidade quando a potência total irradiada dobra. Para isso, usamos a Lei de Stefan-Boltzmann, que diz que a potência total irradiada ( P) por uma superfície é proporcional à quarta potência da sua temperatura absoluta ( T):
P = sigma cdot A cdot T^4
Aqui, sigma é a constante de Stefan-Boltzmann e A é a área da superfície. Como estamos comparando duas situações da mesma cavidade, a área A e a constante sigma permanecem constantes. Então, se a potência dobra, temos:
2P = sigma cdot A cdot Tnova^4
Dividindo as duas equações:
2PP = sigma cdot A cdot Tnova^4sigma cdot A cdot Tantiga^4
Simplificando:
2 = ( TnovaTantiga )^4
Agora, isolando Tnova:
Tnova = Tantiga cdot 2^14
Sabemos que 2^14 approx 1,1892.
Então:
Tnova approx Tantiga cdot 1,1892

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o valor de Tnova. Porém, o enunciado não nos deu a temperatura antiga diretamente, mas sabemos que o máximo da distribuição ocorreu em 24,0 mum. Vamos usar a Lei de Deslocamento de Wien para encontrar a temperatura antiga ( Tantiga).
A Lei de Wien é dada por:
lambdamáx cdot T = b á
Onde b é a constante de deslocamento de Wien, aproximadamente 2,897 times 10^-3 mcdotK.
Rearranjando para Tantiga:
Tantiga = blambdamáx á
Substituindo os valores:
Tantiga = 2,897 times 10^-3 mcdotK24,0 times 10^-6 m = 2,897 times 10^-324,0 times 10^-6 approx 120,7 K

Passo 4

Agora que temos Tantiga approx 120,7 K, podemos calcular Tnova:
Tnova approx 120,7 K cdot 1,1892 approx 143 K

Passo 5

Pronto! Determinamos que a nova temperatura da cavidade é de aproximadamente 143 K.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b), que pede para determinar a nova posição do máximo da distribuição espectral após o aumento da temperatura. Vamos novamente usar a Lei de Deslocamento de Wien:
lambdamáx cdot T = b á
Queremos encontrar a nova lambdamáxá chamada lambda'máxá, sabendo que a nova temperatura é 143 K.
Rearranjando a fórmula:
lambda'máx = bTnova á
Substituindo os valores:
lambda'máx = 2,897 times 10^-3 mcdotK143 K approx 2,026 times 10^-5 m = 20,26 mum á
Arredondando, temos cerca de 20,2 μm.

Resposta

(a) A nova temperatura da cavidade é de 143 K.
(b) A nova posição do máximo da distribuição espectral é de 20,2 μm.

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