O máximo da distribuição espectral da potência irradiada por uma certa cavidade ocorre para o comprimento de onda de 24,0 (na região do infravermelho). A temperatura da cavidade é aumentada até que a potência total irradiada se torne duas vezes maior.
(a) Determine a nova temperatura da cavidade.
Resposta: 143 K
(b) Determine a nova posição do máximo da distribuição espectral. Resposta: 20, 2 um

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma cavidade que emite radiação com o máximo de potência no comprimento de onda de 24,0  m, que está na região do infravermelho. A temperatura dessa cavidade é aumentada de forma que a potência total irradiada dobre. Para resolver isso, vamos usar duas leis principais da física: a Lei de Stefan-Boltzmann, que relaciona a potência total irradiada com a temperatura, e a Lei de Deslocamento de Wien, que nos ajuda a encontrar o novo comprimento de onda onde a potência é máxima após o aumento da temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a), que pede para determinar a nova temperatura da cavidade quando a potência total irradiada dobra. Para isso, usamos a Lei de Stefan-Boltzmann, que diz que a potência total irradiada ( ) por uma superfície é proporcional à quarta potência da sua temperatura absoluta ( ):
Aqui, é a constante de Stefan-Boltzmann e é a área da superfície. Como estamos comparando duas situações da mesma cavidade, a área e a constante permanecem constantes. Então, se a potência dobra, temos:
Dividindo as duas equações:
Simplificando:
Agora, isolando :
Sabemos que .
Então:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o valor de . Porém, o enunciado não nos deu a temperatura antiga diretamente, mas sabemos que o máximo da distribuição ocorreu em m. Vamos usar a Lei de Deslocamento de Wien para encontrar a temperatura antiga ( ).
A Lei de Wien é dada por:
á
Onde é a constante de deslocamento de Wien, aproximadamente .
Rearranjando para :
á
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora que temos , podemos calcular :

Passo 5

Pronto! Determinamos que a nova temperatura da cavidade é de aproximadamente 143 K.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b), que pede para determinar a nova posição do máximo da distribuição espectral após o aumento da temperatura. Vamos novamente usar a Lei de Deslocamento de Wien:
á
Queremos encontrar a nova á chamada á, sabendo que a nova temperatura é .
Rearranjando a fórmula:
á
Substituindo os valores:
á
Arredondando, temos cerca de 20,2 μm.

Resposta

(a) A nova temperatura da cavidade é de 143 K.
(b) A nova posição do máximo da distribuição espectral é de 20,2 μm.

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