Suponha uma estrela que irradia uma potência 100 vezes maior que a do Sol. Esta estrela emite um espectro de radiação com a máxima intensidade em 966 nm . Qual é o tamanho dessa estrela?
Adote para o Sol: lambdamax approx 520 nm e r sol approx 7.10^8 m
Resposta: r approx 2,4.10^10

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma estrela que emite 100 vezes mais energia que o Sol e cujo pico de radiação está em 966 nm. Queremos descobrir o tamanho (raio) dessa estrela. Para isso, vamos usar duas leis importantes da física: a Lei de Stefan-Boltzmann, que relaciona a potência irradiada com a temperatura e o tamanho da estrela, e a Lei de Wien, que relaciona o comprimento de onda de máxima intensidade com a temperatura. Vamos precisar também das informações do Sol para comparar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Wien, que nos diz que o produto do comprimento de onda de máxima intensidade ( lambdamax) e a temperatura absoluta ( T) é uma constante ( b):
lambdamax cdot T = b
O valor de b é aproximadamente 2,898 times 10^-3 , m cdot K.

Passo 3

Vamos calcular a temperatura do Sol usando a Lei de Wien. Sabemos que para o Sol:
lambdamax, Sol = 520 , nm = 520 times 10^-9 , m
Usando a fórmula:
TSol = blambdamax, Sol = 2,898 times 10^-3520 times 10^-9 approx 5575 , K

Passo 4

Agora, vamos calcular a temperatura da estrela em questão. Sabemos que ela tem:
lambdamax, estrela = 966 , nm = 966 times 10^-9 , m
Aplicando a Lei de Wien:
Testrela = blambdamax, estrela = 2,898 times 10^-3966 times 10^-9 approx 2996 , K

Passo 5

Agora vamos usar a Lei de Stefan-Boltzmann, que relaciona a potência irradiada ( L), o raio da estrela ( R) e a temperatura ( T):
L = 4pi R^2 sigma T^4
Onde sigma é a constante de Stefan-Boltzmann ( sigma approx 5,67 times 10^-8 , W cdot m^-2 cdot K^-4).

Passo 6

Sabemos que a estrela emite 100 vezes a potência do Sol:
Lestrela = 100 , LSol
E que o raio do Sol é:
RSol = 7 times 10^8 , m
Usando a Lei de Stefan-Boltzmann para o Sol:
LSol = 4pi RSol^2 sigma TSol^4

Passo 7

Podemos igualar as duas expressões para Lestrela:
100 , LSol = 4pi Restrela^2 sigma Testrela^4
Dividindo ambos os lados por 4pi sigma, temos:
100 ( RSol^2 TSol^4 ) = Restrela^2 Testrela^4

Passo 8

Agora, isolamos Restrela:
Restrela^2 = 100 ( RSol^2 TSol^4Testrela^4 )
Tirando a raiz quadrada dos dois lados:
Restrela = raiz100 times RSol times ( TSolTestrela )^2
Restrela = 10 times RSol times ( 55752996 )^2

Passo 9

Calculando os valores numéricos:
Restrela = 10 times 7 times 10^8 times ( 55752996 )^2
Restrela = 7 times 10^9 times ( 1,86 )^2
Restrela approx 7 times 10^9 times 3,46 approx 2,4 times 10^10 , m

Resposta

O raio da estrela é aproximadamente r approx 2,4 times 10^10 , m.

Exercícios relacionados