Suponha uma estrela que irradia uma potência 100 vezes maior que a do Sol. Esta estrela emite um espectro de radiação com a máxima intensidade em 966 nm . Qual é o tamanho dessa estrela?
Adote para o Sol:
e
Resposta:
Adote para o Sol:
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma estrela que emite 100 vezes mais energia que o Sol e cujo pico de radiação está em 966 nm. Queremos descobrir o tamanho (raio) dessa estrela. Para isso, vamos usar duas leis importantes da física: a Lei de Stefan-Boltzmann, que relaciona a potência irradiada com a temperatura e o tamanho da estrela, e a Lei de Wien, que relaciona o comprimento de onda de máxima intensidade com a temperatura. Vamos precisar também das informações do Sol para comparar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Wien, que nos diz que o produto do comprimento de onda de máxima intensidade (
) e a temperatura absoluta (
) é uma constante (
):
O valor de
é aproximadamente
.
Passo 3
Vamos calcular a temperatura do Sol usando a Lei de Wien. Sabemos que para o Sol:
Usando a fórmula:
Passo 4
Agora, vamos calcular a temperatura da estrela em questão. Sabemos que ela tem:
Aplicando a Lei de Wien:
Passo 5
Agora vamos usar a Lei de Stefan-Boltzmann, que relaciona a potência irradiada (
), o raio da estrela (
) e a temperatura (
):
Onde
é a constante de Stefan-Boltzmann (
).
Passo 6
Sabemos que a estrela emite 100 vezes a potência do Sol:
E que o raio do Sol é:
Usando a Lei de Stefan-Boltzmann para o Sol:
Passo 7
Podemos igualar as duas expressões para
:
Dividindo ambos os lados por
, temos:
Passo 8
Agora, isolamos
:
Tirando a raiz quadrada dos dois lados:
Passo 9
Calculando os valores numéricos:
Resposta
O raio da estrela é aproximadamente
.