Aplique o critério de Euler das derivadas cruzadas para verificar quais das expressões diferenciais abaixo são exatas
b)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma expressão diferencial dada por:
O objetivo é verificar se essa expressão é exata usando o Critério de Euler das Derivadas Cruzadas. Para isso, precisamos conhecer o que significa uma expressão diferencial ser exata e como aplicar esse critério.

Passo 2

Uma expressão diferencial da forma:
é exata se existir uma função tal que:
Para verificar se isso é verdade, usamos o Critério de Euler das Derivadas Cruzadas, que nos diz que a expressão é exata se as derivadas parciais cruzadas de e forem iguais. Ou seja:

Passo 3

Vamos identificar as funções e na nossa expressão:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 4

Primeiro, calculamos a derivada parcial de em relação a :
Porque não depende de , a derivada em relação a é zero.

Passo 5

Em seguida, calculamos a derivada parcial de em relação a :
Aqui, aplicamos a regra do produto: derivamos em relação a , que dá , e o termo fica como está.

Passo 6

Agora, comparamos as duas derivadas parciais que calculamos:
Para que a expressão diferencial seja exata, essas duas derivadas devem ser iguais:

Passo 7

A igualdade só é verdadeira se . Isso significa que a condição para a expressão diferencial ser exata só ocorre quando . Em geral, para quaisquer outros valores de , as derivadas não são iguais.

Resposta

Portanto, a expressão diferencial não é exata.

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Aplique o critério de Euler das derivadas cruzadas para verificar quais das expressões diferenciais abaixo são exatas
a)
O máximo da distribuição espectral da potência irradiada por uma certa cavidade ocorre para o comprimento de onda de 24,0 (na região do infravermelho). A temperatura da cavidade é aumentada até que a potência total irradiada se torne duas vezes maior.
(a) Determine a nova temperatura da cavidade.
Resposta: 143 K
(b) Determine a nova posição do máximo da distribuição espectral. Resposta: 20, 2 um
Aplique o critério de Euler das derivadas cruzadas para verificar quais das expressões diferenciais abaixo são exatas
d)
O vetor posição de uma partícula em movirnento no espaço é dado por:
© (Valor: 0,6) Determine a equação da trajetória da partícula.