Aplique o critério de Euler das derivadas cruzadas para verificar quais das expressões diferenciais abaixo são exatas
b) d z=3 x^2 d x+6 x(y-1) d y

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma expressão diferencial dada por:
d z = 3x^2 , d x + 6x(y - 1) , d y
O objetivo é verificar se essa expressão é exata usando o Critério de Euler das Derivadas Cruzadas. Para isso, precisamos conhecer o que significa uma expressão diferencial ser exata e como aplicar esse critério.

Passo 2

Uma expressão diferencial da forma:
d z = M(x, y) , d x + N(x, y) , d y
é exata se existir uma função partial zpartial x = M(x, y) e partial zpartial y = N(x, y) tal que:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Para verificar se isso é verdade, usamos o Critério de Euler das Derivadas Cruzadas, que nos diz que a expressão é exata se as derivadas parciais cruzadas de e forem iguais. Ou seja:

Passo 3

Vamos identificar as funções M(x, y) = 3x^2 e N(x, y) = 6x(y - 1) e na nossa expressão:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 4

Primeiro, calculamos a derivada parcial de partial Mpartial y = partialpartial y (3x^2) = 0 em relação a :
Porque não depende de , a derivada em relação a é zero.

Passo 5

Em seguida, calculamos a derivada parcial de partial Npartial x = partialpartial x [6x(y - 1)] = 6(y - 1) em relação a :
Aqui, aplicamos a regra do produto: derivamos em relação a , que dá , e o termo fica como está.

Passo 6

Agora, comparamos as duas derivadas parciais que calculamos:
partial Mpartial y = 0 e partial Npartial x = 6(y - 1)
Para que a expressão diferencial seja exata, essas duas derivadas devem ser iguais:
0 = 6(y - 1)

Passo 7

A igualdade só é verdadeira se . Isso significa que a condição para a expressão diferencial ser exata só ocorre quando . Em geral, para quaisquer outros valores de , as derivadas não são iguais.

Resposta

Portanto, a expressão diferencial não é exata.

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