Aplique o critério de Euler das derivadas cruzadas para verificar quais das expressões diferenciais abaixo são exatas
b)
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma expressão diferencial dada por:
O objetivo é verificar se essa expressão é exata usando o Critério de Euler das Derivadas Cruzadas. Para isso, precisamos conhecer o que significa uma expressão diferencial ser exata e como aplicar esse critério.
Passo 2
Uma expressão diferencial da forma:
é exata se existir uma função
tal que:
Para verificar se isso é verdade, usamos o Critério de Euler das Derivadas Cruzadas, que nos diz que a expressão é exata se as derivadas parciais cruzadas de
e
forem iguais. Ou seja:
Passo 3
Vamos identificar as funções
e
na nossa expressão:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 4
Primeiro, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Porque
não depende de
, a derivada em relação a
é zero.
Passo 5
Em seguida, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui, aplicamos a regra do produto: derivamos
em relação a
, que dá
, e o termo
fica como está.
Passo 6
Agora, comparamos as duas derivadas parciais que calculamos:
Para que a expressão diferencial seja exata, essas duas derivadas devem ser iguais:
Passo 7
A igualdade
só é verdadeira se
. Isso significa que a condição para a expressão diferencial ser exata só ocorre quando
. Em geral, para quaisquer outros valores de
, as derivadas não são iguais.
Resposta
Portanto, a expressão diferencial
não é exata.