Aplique o critério de Euler das derivadas cruzadas para verificar quais das expressões diferenciais abaixo são exatas
a)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a expressão diferencial
é exata. Isso está relacionado ao conteúdo de Equações Diferenciais e, especificamente, ao Critério de Exatidão. Vamos usar as derivadas parciais para aplicar esse critério e ver se a expressão é exata.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da expressão diferencial. Temos:
-
que é o coeficiente de -
que é o coeficiente de
Passo 3
Agora, para aplicar o Critério de Exatidão de Euler, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
.
Vamos calcular
:
Passo 4
Em seguida, calculamos
:
Passo 5
Agora, comparamos as duas derivadas parciais que encontramos:
Como elas são iguais, de acordo com o Critério de Exatidão, a expressão diferencial é exata.
Resposta
A expressão diferencial
é exata segundo o Critério de Euler das derivadas cruzadas.