Aplique o critério de Euler das derivadas cruzadas para verificar quais das expressões diferenciais abaixo são exatas
a) d z=6 x(y-1) d x+3 x^2 d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a expressão diferencial é exata. Isso está relacionado ao conteúdo de Equações Diferenciais e, especificamente, ao Critério de Exatidão. Vamos usar as derivadas parciais para aplicar esse critério e ver se a expressão é exata.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da expressão diferencial. Temos:
  • que é o coeficiente de
  • que é o coeficiente de

Passo 3

Agora, para aplicar o Critério de Exatidão de Euler, precisamos calcular as derivadas parciais de partial Mpartial y = partialpartial y [6x(y - 1)] = 6x em relação a e de em relação a .
Vamos calcular :

Passo 4

Em seguida, calculamos partial Npartial x = partialpartial x [3x^2] = 6x :

Passo 5

Agora, comparamos as duas derivadas parciais que encontramos:
partial Mpartial y = 6x e partial Npartial x = 6x
Como elas são iguais, de acordo com o Critério de Exatidão, a expressão diferencial é exata.

Resposta

A expressão diferencial é exata segundo o Critério de Euler das derivadas cruzadas.

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