Calcular, caso existam, os valores de f_x(1, -1) e f_y(1,-1), onde
f(x, y) = { (x^2 - x*y^2) / (x + y), se x != -y; 1, se x = -y }

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular as derivadas parciais e da função definida por:
Basicamente, vamos encontrar como a função muda em relação a e no ponto . Para isso, precisaremos entender como calcular derivadas parciais e verificar se elas existem nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar qual parte da função está ocorrendo no ponto . Precisamos ver se nesse ponto:
Como a igualdade é verdadeira, usamos a segunda parte da função, ou seja, .

Passo 3

Agora, para calcular as derivadas parciais e em , precisamos usar a definição de derivada parcial. Por exemplo, para :
E similarmente para :
Vamos aplicar isso no ponto .

Passo 4

Vamos começar com :
Precisamos avaliar . Se , usamos a primeira parte da função:
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular :
Precisamos avaliar . Verificamos se :
Para , , então usamos a primeira parte da função:
Então:
Aqui, se tende para 0, o limite tende para infinito, ou seja, não existe um valor finito para .

Resposta

Os valores das derivadas parciais no ponto são:
ã

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Ache a solução particular dos problemas de valor inicial abaixo, usando EDO Separável:
dr/dθ = b[dr/dθ cos θ + r sen θ], r(1/2 π) = π, 0 < b < 1
Sejam f(x, y) diferenciável e F(r, θ) = f(r cos(θ), r sen(θ)). Calcule Fr = F_r e F_theta.
Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
e^x (cos(y) - sen(y) d(y)/d(x)) = 0
Quais o máximo e o mínimo da raiz cúbica do produto de três números se a soma destes três números seja igual a 8 ?