Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
e^x (cos(y) - sen(y) d(y)/d(x)) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que você enviou. O enunciado pede para verificar se a EDO é exata, e se não for, encontrar um fator integrante para torná-la exata. Depois, precisamos resolver a EDO e, se houver uma condição inicial, determinar a solução particular. Para isso, vamos precisar entender conceitos de EDOs exatas e fatores integrantes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a EDO de uma forma mais familiar. A equação que temos é:
Podemos rearranjar isso para deixar na forma padrão de EDOs:
Aqui, identificamos e .

Passo 3

Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Uma EDO na forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Ou seja, precisamos calcular:
Vamos lá:

Passo 4

Como vimos, temos:
Como essas duas derivadas são iguais, a EDO é exata.

Passo 5

Como a EDO é exata, podemos encontrar uma função tal que:
Vamos integrar em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , então é uma constante, que podemos chamar de .

Passo 6

Portanto, a solução geral da EDO é dada por:
Onde é uma constante qualquer.

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde é uma constante arbitrária.

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