Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que você enviou. O enunciado pede para verificar se a EDO é exata, e se não for, encontrar um fator integrante para torná-la exata. Depois, precisamos resolver a EDO e, se houver uma condição inicial, determinar a solução particular. Para isso, vamos precisar entender conceitos de EDOs exatas e fatores integrantes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a EDO de uma forma mais familiar. A equação que temos é:
Podemos rearranjar isso para deixar na forma padrão de EDOs:
Aqui, identificamos
e
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Uma EDO na forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Ou seja, precisamos calcular:
Vamos lá:
Passo 4
Como vimos, temos:
Como essas duas derivadas são iguais, a EDO é exata.
Passo 5
Como a EDO é exata, podemos encontrar uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é uma constante, que podemos chamar de
.
Passo 6
Portanto, a solução geral da EDO é dada por:
Onde
é uma constante qualquer.
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Calcular, caso existam, os valores de
e
, onde
Ache a solução particular dos problemas de valor inicial abaixo, usando EDO Separável:
Quais o máximo e o mínimo da raiz cúbica do produto de três números se a soma destes três números seja igual a 8 ?
Considere a função dada por:
Calcule
e
. Analise a diferenciabilidade
em
.