Se
é primo, quais são os possíveis valores para
? E para
?
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre o máximo divisor comum (mdc). O enunciado nos diz que o mdc de dois números
e
é um número primo
. Precisamos descobrir quais são os possíveis valores para
e
. Para isso, vamos usar propriedades do mdc e das potências dos números.
Passo 2
Primeiro, sabemos que
, onde
é primo. Isso significa que
é o maior número que divide tanto
quanto
. Como
é primo, a única possibilidade é que
e
sejam múltiplos de
, ou seja,
e
, onde
e
são inteiros que não têm
como divisor comum (ou seja,
).
Passo 3
Vamos encontrar
. Substituindo
e
, temos:
Como
é primo e
, o mdc será
, já que
e
têm
como maior divisor comum.
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Substituindo novamente
e
, temos:
Aqui, o menor expoente de
nas duas expressões é 2, então o mdc será
.
Resposta
Os possíveis valores são:
e
Exercícios relacionados
Mostre que um natural
é par se e somente se
é par para qualquer
.
Calcule o mdc entre 4774 e 4168. Encontre, se existir, uma solução para a equação diofantina
Seja
. O número
é dito o
-ésimo número de Mersenne. Prove que se
é um número primo, então
também é primo.
Mostre que se
e
são ímpares, então
é divisível por 2 mas não divisível por 4 .