Se é primo, quais são os possíveis valores para ? E para ?

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre o máximo divisor comum (mdc). O enunciado nos diz que o mdc de dois números e é um número primo . Precisamos descobrir quais são os possíveis valores para e . Para isso, vamos usar propriedades do mdc e das potências dos números.

Passo 2

Primeiro, sabemos que , onde é primo. Isso significa que é o maior número que divide tanto quanto . Como é primo, a única possibilidade é que e sejam múltiplos de , ou seja, e , onde e são inteiros que não têm como divisor comum (ou seja, ).

Passo 3

Vamos encontrar . Substituindo e , temos:
Como é primo e , o mdc será , já que e têm como maior divisor comum.

Passo 4

Agora, vamos calcular . Substituindo novamente e , temos:
Aqui, o menor expoente de nas duas expressões é 2, então o mdc será .

Resposta

Os possíveis valores são:
e

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