Seja . O número é dito o -ésimo número de Mersenne. Prove que se é um número primo, então também é primo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre os números de Mersenne, que são da forma . A gente precisa provar que se é primo, então o próprio também tem que ser primo. Para isso, vamos precisar entender o que significa um número ser primo e como os números de Mersenne se comportam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um número primo. Um número primo é aquele que só pode ser dividido por 1 e por ele mesmo. Agora, se é primo, queremos mostrar que também precisa ser primo. Vamos supor que não seja primo e ver o que acontece.

Passo 3

Se não é primo, então ele pode ser escrito como , onde e são inteiros maiores que 1. Vamos substituir isso na expressão de .

Passo 4

Substituindo em , temos:
Isso lembra a diferença de potências, onde pode ser fatorado.

Passo 5

Usando a fatoração de potências, sabemos que:
Aplicando isso com , temos:
Isso mostra que pode ser escrito como um produto de dois números maiores que 1.

Passo 6

Então, se é composto (não primo), também pode ser escrito como um produto, ou seja, não seria primo. Isso contraria nossa hipótese inicial de que é primo.

Passo 7

Portanto, para que seja primo, nossa suposição de que é composto está errada. Assim, deve ser primo.

Resposta

Se é um número primo, então também é primo.

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