Seja
. O número
é dito o
-ésimo número de Mersenne. Prove que se
é um número primo, então
também é primo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre os números de Mersenne, que são da forma
. A gente precisa provar que se
é primo, então o próprio
também tem que ser primo. Para isso, vamos precisar entender o que significa um número ser primo e como os números de Mersenne se comportam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um número primo. Um número primo é aquele que só pode ser dividido por 1 e por ele mesmo. Agora, se
é primo, queremos mostrar que
também precisa ser primo. Vamos supor que
não seja primo e ver o que acontece.
Passo 3
Se
não é primo, então ele pode ser escrito como
, onde
e
são inteiros maiores que 1. Vamos substituir isso na expressão de
.
Passo 4
Substituindo
em
, temos:
Isso lembra a diferença de potências, onde
pode ser fatorado.
Passo 5
Usando a fatoração de potências, sabemos que:
Aplicando isso com
, temos:
Isso mostra que
pode ser escrito como um produto de dois números maiores que 1.
Passo 6
Então, se
é composto (não primo),
também pode ser escrito como um produto, ou seja,
não seria primo. Isso contraria nossa hipótese inicial de que
é primo.
Passo 7
Portanto, para que
seja primo, nossa suposição de que
é composto está errada. Assim,
deve ser primo.
Resposta
Se
é um número primo, então
também é primo.
Exercícios relacionados
Se
é primo, quais são os possíveis valores para
? E para
?
Mostre que um natural
é par se e somente se
é par para qualquer
.
Mostre que se
e
são ímpares, então
é divisível por 2 mas não divisível por 4 .
Sejam
e
naturais tais que
.
(a) Quantos múltiplos de existem entre
e
?
(b) Quantos múltiplos de 7 existem entre 325 e 3091.
(a) Quantos múltiplos de
(b) Quantos múltiplos de 7 existem entre 325 e 3091.