In a meat processing plant, 2-cm-thick steaks (k=0,45 W / m ^circ C and alpha=0,91 times 10^-7 m^2 / s ) that are initially at 25^circ C are to be cooled by passing them through a refrigeration room at -11^circ C. The heat transfer coefficient on both sides of the steaks is 9 W / m^2 ^circ C. If both surfaces of the steaks are to be cooled to 2^circ C, determine how long the steaks should be kept in the refrigeration room.
T(L, t)-TinftyTi-Tinfty & =A1 e^-K1^2 F o cos (K1 LL) K1 & =0,4328 A1 & =1,0311

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vou resumir o que a questão está pedindo. Temos bifes com 2 cm de espessura que estão inicialmente a 25°C. Esses bifes vão ser resfriados em uma sala de refrigeração que está a -11°C. Queremos saber quanto tempo esses bifes precisam ficar na sala para que as superfícies deles esfriem até 2°C.
Para resolver esse problema, vamos usar conceitos de transporte de calor, especificamente a difusão de calor em materiais sólidos. Vamos precisar das seguintes informações fornecidas:
  • Condutividade térmica (k): 0,45 W/m·°C
  • Difusividade térmica (α): 0,91 × 10⁻⁷ m²/s
  • Coeficiente de transferência de calor (h): 9 W/m²·°C
  • Espessura dos bifes (L): 0,02 m
  • Temperatura inicial (Ti): 25°C
  • Temperatura da sala (T∞): -11°C
  • Temperatura final desejada (Tf): 2°C
A equação fornecida relaciona essas variáveis e nos ajuda a determinar o tempo necessário para o resfriamento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação dada:
T(L, t) - TinftyTi - Tinfty = A1 , e^-K1^2 cdot Fo cdot cos(K1 cdot LL)
Onde:
  • T(L, t) - TinftyTi - Tinfty = A1 , e^-K1^2 cdot Fo cdot cos(K1) é a temperatura na posição e tempo .
  • é a temperatura ambiente ( ).
  • é a temperatura inicial ( ).
  • e são constantes fornecidas ( e ).
  • é o número de Fourier, que relaciona a difusividade térmica com o tempo.
A parte do cosseno na equação parece um pouco estranha, já que simplifica para . Então, a equação pode ser reescrita como:

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar o tempo 2 - (-11)25 - (-11) = 1,0311 , e^-(0,4328)^2 cdot Fo cdot cos(0,4328) necessário para que 1336 approx 0,361 . Vamos reorganizar a equação para resolver cos(0,4328) approx 0,908 :
  1. Substitua os valores conhecidos na equação:
0,361 = 1,0311 times e^-(0,4328)^2 cdot Fo times 0,908
  1. Calcule o lado esquerdo da equação:
  1. Calcule :
  1. Substitua de volta na equação:

Passo 4

Agora, vamos isolar a parte exponencial para encontrar 0,3611,0311 times 0,908 approx 0,3610,935 approx 0,386 :
  1. Divida ambos os lados por e^-(0,4328)^2 cdot Fo = 0,386 :
-(0,4328)^2 cdot Fo = ln(0,386) approx -0,952
Então:
Fo = 0,952(0,4328)^2 approx 0,9520,187 approx 5,09
  1. Aplique o logaritmo natural em ambos os lados para eliminar o expoente:
  1. Resolva para :

Passo 5

Sabemos que o número de Fourier ( Fo = alpha cdot tL^2 ) é definido como:
t = Fo cdot L^2alpha
Queremos encontrar t = 5,09 times (0,02)^20,91 times 10^-7 = 5,09 times 0,00040,91 times 10^-7 approx 0,0020360,91 times 10^-7 approx 2,236 times 10^4 segundos , então rearranjamos a fórmula:
Substitua os valores:
  • m
  • m²/s
Calculando:

Passo 6

Vamos converter o tempo de segundos para horas para facilitar a interpretação:
t approx 2,236 times 10^4 s div 3600 approx 6,21 horas

Resposta

Os bifes devem ser mantidos na sala de refrigeração por aproximadamente 6,2 horas para que as superfícies esfriem até 2 °C.

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