In a meat processing plant,
-thick steaks
and
) that are initially at
are to be cooled by passing them through a refrigeration room at
. The heat transfer coefficient on both sides of the steaks is
. If both surfaces of the steaks are to be cooled to
, determine how long the steaks should be kept in the refrigeration room.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vou resumir o que a questão está pedindo. Temos bifes com 2 cm de espessura que estão inicialmente a 25°C. Esses bifes vão ser resfriados em uma sala de refrigeração que está a -11°C. Queremos saber quanto tempo esses bifes precisam ficar na sala para que as superfícies deles esfriem até 2°C.
Para resolver esse problema, vamos usar conceitos de transporte de calor, especificamente a difusão de calor em materiais sólidos. Vamos precisar das seguintes informações fornecidas:
- Condutividade térmica (k): 0,45 W/m·°C
- Difusividade térmica (α): 0,91 × 10⁻⁷ m²/s
- Coeficiente de transferência de calor (h): 9 W/m²·°C
- Espessura dos bifes (L): 0,02 m
- Temperatura inicial (Ti): 25°C
- Temperatura da sala (T∞): -11°C
- Temperatura final desejada (Tf): 2°C
A equação fornecida relaciona essas variáveis e nos ajuda a determinar o tempo necessário para o resfriamento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação dada:
Onde:
-
é a temperatura na posição e tempo . -
é a temperatura ambiente ( ). -
é a temperatura inicial ( ). -
e são constantes fornecidas ( e ). -
é o número de Fourier, que relaciona a difusividade térmica com o tempo.
A parte do cosseno na equação parece um pouco estranha, já que
simplifica para
. Então, a equação pode ser reescrita como:
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar o tempo
necessário para que
. Vamos reorganizar a equação para resolver
:
- Substitua os valores conhecidos na equação:
- Calcule o lado esquerdo da equação:
- Calcule
:
- Substitua de volta na equação:
Passo 4
Agora, vamos isolar a parte exponencial para encontrar
:
- Divida ambos os lados por
:
Então:
- Aplique o logaritmo natural em ambos os lados para eliminar o expoente:
- Resolva para
:
Passo 5
Sabemos que o número de Fourier (
) é definido como:
Queremos encontrar
, então rearranjamos a fórmula:
Substitua os valores:
-
-
m -
m²/s
Calculando:
Passo 6
Vamos converter o tempo de segundos para horas para facilitar a interpretação:
Resposta
Os bifes devem ser mantidos na sala de refrigeração por aproximadamente 6,2 horas para que as superfícies esfriem até 2 °C.
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