A componente y da velocidade em um campo de escoamento em regime permanente e incompressível, no plano
, é
, em que
é uma constante e
é medido em metros. Qual é a mais simples componente
da velocidade para este campo de escoamento?
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado nos diz que estamos lidando com um campo de escoamento contínuo e incompressível no plano
. A componente
da velocidade é dada por
, onde
é uma constante. Nosso objetivo é encontrar a componente
da velocidade, ou seja,
.
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de condição de incompressibilidade, que em termos simples, significa que o fluido não está se acumulando nem se esvaindo em nenhum ponto. Matemáticamente, isso é expresso pela equação da divergência da velocidade igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação de continuidade para um fluxo incompressível em duas dimensões:
Aqui,
é a componente da velocidade na direção
e
na direção
.
Passo 3
Sabemos que
. Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos
na equação de continuidade:
Isso simplifica para:
Passo 5
Para encontrar
, vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função de integração que depende de
.
Passo 6
Como estamos procurando a componente mais simples da velocidade
, podemos assumir que
. Assim, a expressão para
fica:
Resposta
A componente
da velocidade é
.