A componente y da velocidade em um campo de escoamento em regime permanente e incompressível, no plano x y, é v=A / y, em que A é uma constante e x é medido em metros. Qual é a mais simples componente x da velocidade para este campo de escoamento?

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado nos diz que estamos lidando com um campo de escoamento contínuo e incompressível no plano . A componente da velocidade é dada por , onde é uma constante. Nosso objetivo é encontrar a componente da velocidade, ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de condição de incompressibilidade, que em termos simples, significa que o fluido não está se acumulando nem se esvaindo em nenhum ponto. Matemáticamente, isso é expresso pela equação da divergência da velocidade igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação de continuidade para um fluxo incompressível em duas dimensões:
partial upartial x + partial vpartial y = 0
Aqui, é a componente da velocidade na direção e na direção .

Passo 3

Sabemos que partial vpartial y = partialpartial y ( Ay ) = -Ay^2 . Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos partial upartial x - Ay^2 = 0 na equação de continuidade:
partial upartial x = Ay^2
Isso simplifica para:

Passo 5

Para encontrar u(x, y) = integral Ay^2 , dx = Ay^2 x + C(y) , vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função de integração que depende de .

Passo 6

Como estamos procurando a componente mais simples da velocidade u(x, y) = A xy^2 , podemos assumir que . Assim, a expressão para fica:

Resposta

A componente da velocidade é .

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