Na mecânica quântica postula-se que o estado de um sistema é completamente determinado pela função de onda correspondente. Um modelo bastante simples que permite analisar os conceitos associados ao comportamento de sistemas descritos pelas leis da mecânica quântica se chama partícula em uma caixa unidimensional. Sobre esse sistema, responda às questões abaixo.
(b) Por que os níveis de energia desse sistema são quantizados?
(b) Por que os níveis de energia desse sistema são quantizados?
Passo 1
Então, a gente tem uma pergunta sobre a mecânica quântica, mais especificamente sobre o modelo da “partícula em uma caixa” unidimensional. A questão é: por que os níveis de energia desse sistema são quantizados? Para resolver isso, vamos entender o que é quantização de energia, como a função de onda da partícula se comporta dentro da caixa e como as condições de contorno levam a essa quantização.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que na mecânica quântica, a energia de um sistema não pode assumir qualquer valor contínuo, mas sim valores discretos, chamados de níveis de energia quantizados. Isso é diferente da física clássica, onde a energia pode variar continuamente.
Passo 3
No modelo da “partícula em uma caixa”, imaginamos uma partícula confinada entre duas paredes impenetráveis em uma dimensão. Matematicamente, isso significa que a função de onda da partícula,
, deve ser zero nas paredes da caixa. Se a caixa vai de
a
, então:
Passo 4
Para encontrar as possíveis funções de onda
que satisfazem essas condições, resolvemos a equação de Schrödinger independente do tempo:
Onde
é a constante de Planck reduzida,
é a massa da partícula e
é a energia.
Passo 5
A solução geral dessa equação é uma combinação de senos e cossenos. Porém, aplicando as condições de contorno
e
, descobrimos que só temos soluções para certas funções senoidais específicas. Ou seja, só determinados valores de
(número de onda) permitem que a função de onda seja zero nas paredes.
Passo 6
Isso leva a valores discretos para
, e como a energia está relacionada a
pela relação:
Somente certos valores de
são permitidos, já que
só pode assumir valores específicos para que as condições de contorno sejam satisfeitas.
Passo 7
Portanto, os níveis de energia são quantizados porque apenas determinadas energias permitem que a função de onda se encaixe perfeitamente dentro da caixa, respeitando as condições de contorno. Essas energias específicas correspondem aos níveis de energia quantizados do sistema.
Resposta
Os níveis de energia da partícula em uma caixa unidimensional são quantizados porque apenas certas energias permitem que a função de onda da partícula se ajuste às condições de contorno da caixa, resultando em valores discretos de energia.