A função logaritmo natural é a função definida por
ln x=log e x=integral1^x 1t d t, sendo x>0
Utilize o Teorema Fundamental do Cálculo para verificar as seguintes propriedades:
(a) ln 1=0
(b) (ln x)^prime=1x;
© ln (a cdot b)=ln (a)+ln (b), forall a, b>0;
(d) ln (ab)=ln (a)-ln (b), forall a, b>0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata das propriedades do logaritmo natural, que é definido pela integral
ln x = integral1^x 1t dt, onde x > 0
Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para verificar algumas propriedades dessa função. Basicamente, esse teorema conecta integrais com derivadas, o que vai ser super útil para provar as propriedades que o exercício pede.

Passo 2

Parte (a): ln 1 = 0
Vamos calcular a integral de 1 até 1:
ln 1 = integral1^1 1t dt
Quando os limites de integração são iguais, a área sob a curva é zero. Ou seja:
ln 1 = 0
Então, a propriedade está verificada!

Passo 3

Parte (b): (ln x)^prime = 1x
Aqui, queremos encontrar a derivada da função ln x. Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se temos:
F(x) = integrala^x f(t) dt,
então a derivada de F em relação a x é:
F'(x) = f(x)
Aplicando isso à nossa definição:
ln x = integral1^x 1t dt implies (ln x)' = 1x
Pronto, a derivada de ln x é 1x!

Passo 4

Parte ©: ln(a cdot b) = ln(a) + ln(b), para todo a, b > 0
Vamos usar a definição de logaritmo natural e as propriedades das integrais. Primeiro, escrevemos:
ln(a cdot b) = integral1^a cdot b 1t dt
Podemos fazer uma substituição para separar a integral:
integral1^a cdot b 1t dt = integral1^a 1t dt + integrala^a cdot b 1t dt
A primeira integral é ln(a) e para a segunda, fazemos a substituição u = t/a, então dt = a du e:
integrala^a cdot b 1t dt = integral1^b 1u du = ln(b)
Então, juntando tudo:
ln(a cdot b) = ln(a) + ln(b)
Propriedade verificada!

Passo 5

Parte (d): ln(ab) = ln(a) - ln(b), para todo a, b > 0
Vamos novamente usar a definição e as propriedades das integrais:
ln(ab) = integral1^ab 1t dt
Podemos reescrever a fração dentro do logaritmo como ab = a cdot 1b. Então:
integral1^a cdot 1b 1t dt = integral1^a 1t dt + integrala^a cdot 1b 1t dt
A primeira parte é ln(a) e para a segunda, fazemos u = t cdot b, então dt = dub, o que leva a:
integrala^a cdot 1b 1t dt = -ln(b)
Portanto:
ln(ab) = ln(a) - ln(b)
Pronto, essa propriedade também está confirmada!

Resposta

Todas as propriedades foram verificadas usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
a) ln 1 = 0
b) (ln x)^prime = 1x
c) ln(a cdot b) = ln(a) + ln(b) para todo a, b > 0
d) ln(ab) = ln(a) - ln(b) para todo a, b > 0

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