A função logaritmo natural é a função definida por
Utilize o Teorema Fundamental do Cálculo para verificar as seguintes propriedades:
(a)
(b) ;
© ;
(d) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata das propriedades do logaritmo natural, que é definido pela integral
Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para verificar algumas propriedades dessa função. Basicamente, esse teorema conecta integrais com derivadas, o que vai ser super útil para provar as propriedades que o exercício pede.

Passo 2

Parte (a):
Vamos calcular a integral de 1 até 1:
Quando os limites de integração são iguais, a área sob a curva é zero. Ou seja:
Então, a propriedade está verificada!

Passo 3

Parte (b):
Aqui, queremos encontrar a derivada da função . Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se temos:
então a derivada de em relação a é:
Aplicando isso à nossa definição:
Pronto, a derivada de é !

Passo 4

Parte ©: , para todo
Vamos usar a definição de logaritmo natural e as propriedades das integrais. Primeiro, escrevemos:
Podemos fazer uma substituição para separar a integral:
A primeira integral é e para a segunda, fazemos a substituição , então e:
Então, juntando tudo:
Propriedade verificada!

Passo 5

Parte (d): , para todo
Vamos novamente usar a definição e as propriedades das integrais:
Podemos reescrever a fração dentro do logaritmo como . Então:
A primeira parte é e para a segunda, fazemos , então , o que leva a:
Portanto:
Pronto, essa propriedade também está confirmada!

Resposta

Todas as propriedades foram verificadas usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
a)
b)
c) para todo
d) para todo

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(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i) .