A função logaritmo natural é a função definida por
Utilize o Teorema Fundamental do Cálculo para verificar as seguintes propriedades:
(a)
(b)
;
©
;
(d)
.
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício trata das propriedades do logaritmo natural, que é definido pela integral
Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para verificar algumas propriedades dessa função. Basicamente, esse teorema conecta integrais com derivadas, o que vai ser super útil para provar as propriedades que o exercício pede.
Passo 2
Parte (a):
Vamos calcular a integral de 1 até 1:
Quando os limites de integração são iguais, a área sob a curva é zero. Ou seja:
Então, a propriedade está verificada!
Passo 3
Parte (b):
Aqui, queremos encontrar a derivada da função
. Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se temos:
então a derivada de
em relação a
é:
Aplicando isso à nossa definição:
Pronto, a derivada de
é
!
Passo 4
Parte ©:
, para todo
Vamos usar a definição de logaritmo natural e as propriedades das integrais. Primeiro, escrevemos:
Podemos fazer uma substituição para separar a integral:
A primeira integral é
e para a segunda, fazemos a substituição
, então
e:
Então, juntando tudo:
Propriedade verificada!
Passo 5
Parte (d):
, para todo
Vamos novamente usar a definição e as propriedades das integrais:
Podemos reescrever a fração dentro do logaritmo como
. Então:
A primeira parte é
e para a segunda, fazemos
, então
, o que leva a:
Portanto:
Pronto, essa propriedade também está confirmada!
Resposta
Todas as propriedades foram verificadas usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
a)
b)
c)
para todo
d)
para todo
Exercícios relacionados
Mostre que, para todo
, vale a expressão:
.
A mecânica quântica prevê que a força
entre duas moléculas de gás separadas por uma distância
é dada por
onde
e
são constantes reais. A energia potencial
das moléculas de gás satisfaz a equação diferencial (equação envolvendo derivadas)
. Além disso,
quando
. Com base nessas informações, encontre uma fórmula para
em função de
.
Uma importante função presente na teoria física de difração das ondas de luz, que também é aplicada no planejamento de auto-estradas, é a função de Fresnel
. Calcule
.
Utilize o T.F.C para calcular as seguintes integrais:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)