Uma mediana do tetraedro é o segmento de reta determinado por um vértice e o baricentro da face oposta. Mostre que todas as 4 (quatro) medianas do tetraedro A B C D se encontram num mesmo ponto, que será chamado de centróide do tetraedro A B C D.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre as medianas de um tetraedro, que são os segmentos que ligam cada vértice ao baricentro da face oposta. Queremos provar que todas as 4 medianas do tetraedro ABCD se encontram num mesmo ponto, chamado de centróide. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um baricentro e como as medianas se comportam no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um baricentro. Em um triângulo, o baricentro é o ponto onde as medianas se encontram e é o centro de massa do triângulo. Ele divide cada mediana na proporção 2:1, ou seja, a parte que vai do vértice ao baricentro é duas vezes maior que a parte do baricentro à base.

Passo 3

Agora, vamos transferir isso para o tetraedro. Um tetraedro tem 4 faces, cada uma sendo um triângulo. Para cada face, podemos encontrar o baricentro desse triângulo. A mediana do tetraedro é o segmento que liga um vértice ao baricentro da face oposta.

Passo 4

Vamos usar coordenadas para facilitar a visualização. Suponha que o tetraedro ABCD tenha os vértices em posições:
  • A(0,0,0)
  • B(1,0,0)
  • C(0,1,0)
  • D(0,0,1)

Passo 5

Vamos calcular o baricentro de uma das faces. Por exemplo, a face BCD. As coordenadas do baricentro GBCD são a média das coordenadas dos pontos B, C e D:
GBCD = ( 1+0+03, 0+1+03, 0+0+13 ) = ( 13, 13, 13 )

Passo 6

A mediana que vai do vértice A até o baricentro GBCD é o segmento AGBCD. Vamos calcular o ponto médio dessa mediana, mas sabemos que o baricentro do tetraedro divide todas as medianas na mesma proporção.

Passo 7

Repetindo o processo para as outras faces:
  • Baricentro de ACD: GACD = ( 0+0+03, 0+1+03, 0+0+13 ) = ( 0, 13, 13 )
  • Baricentro de ABD: GABD = ( 0+1+03, 0+0+03, 0+0+13 ) = ( 13, 0, 13 )
  • Baricentro de ABC: GABC = ( 0+1+03, 0+0+13, 0+0+03 ) = ( 13, 13, 0 )

Passo 8

Agora, vamos encontrar o ponto onde todas as medianas se encontram. Observando as coordenadas dos baricentros, percebemos que o ponto comum é ( 13, 13, 13 ). Esse é o ponto onde todas as medianas se interceptam, o centróide do tetraedro.

Resposta

Assim, mostramos que todas as 4 medianas do tetraedro ABCD se encontram no ponto ( 13, 13, 13 ), que é o centróide do tetraedro.

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