Uma mediana do tetraedro é o segmento de reta determinado por um vértice e o baricentro da face oposta. Mostre que todas as 4 (quatro) medianas do tetraedro se encontram num mesmo ponto, que será chamado de centróide do tetraedro .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre as medianas de um tetraedro, que são os segmentos que ligam cada vértice ao baricentro da face oposta. Queremos provar que todas as 4 medianas do tetraedro se encontram num mesmo ponto, chamado de centróide. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um baricentro e como as medianas se comportam no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um baricentro. Em um triângulo, o baricentro é o ponto onde as medianas se encontram e é o centro de massa do triângulo. Ele divide cada mediana na proporção 2:1, ou seja, a parte que vai do vértice ao baricentro é duas vezes maior que a parte do baricentro à base.

Passo 3

Agora, vamos transferir isso para o tetraedro. Um tetraedro tem 4 faces, cada uma sendo um triângulo. Para cada face, podemos encontrar o baricentro desse triângulo. A mediana do tetraedro é o segmento que liga um vértice ao baricentro da face oposta.

Passo 4

Vamos usar coordenadas para facilitar a visualização. Suponha que o tetraedro tenha os vértices em posições:

Passo 5

Vamos calcular o baricentro de uma das faces. Por exemplo, a face . As coordenadas do baricentro são a média das coordenadas dos pontos , e :

Passo 6

A mediana que vai do vértice até o baricentro é o segmento . Vamos calcular o ponto médio dessa mediana, mas sabemos que o baricentro do tetraedro divide todas as medianas na mesma proporção.

Passo 7

Repetindo o processo para as outras faces:
  • Baricentro de :
  • Baricentro de :
  • Baricentro de :

Passo 8

Agora, vamos encontrar o ponto onde todas as medianas se encontram. Observando as coordenadas dos baricentros, percebemos que o ponto comum é . Esse é o ponto onde todas as medianas se interceptam, o centróide do tetraedro.

Resposta

Assim, mostramos que todas as 4 medianas do tetraedro se encontram no ponto , que é o centróide do tetraedro.

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