Dado o conjunto de objetos junto com as operações de adição e multiplicação por escalar. Determine quais dos conjuntos são espaços vetoriais. Para os que não são liste as condições que falham. O conjunto
dos polinômios de grau menor ao igual 1 coma as operações usuais de polinômios.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que verificar se o conjunto
, que são os polinômios de grau menor ou igual a 1, é um espaço vetorial usando as operações usuais de adição e multiplicação por escalar. Para isso, vamos precisar lembrar das propriedades que definem um espaço vetorial e verificar cada uma delas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de objetos (neste caso, polinômios) onde podemos adicionar esses objetos e multiplicá-los por escalares (números reais, aqui) de forma que todas as propriedades de um espaço vetorial sejam satisfeitas. Essas propriedades são chamadas de axiomas.
Passo 3
Vamos listar os axiomas que precisamos verificar:
- Fechamento sob adição: se você pegar dois polinômios no conjunto e somar, o resultado também está no conjunto.
- Fechamento sob multiplicação por escalar: se você multiplicar um polinômio do conjunto por um número real, o resultado também está no conjunto.
- Existência do vetor zero: existe um polinômio no conjunto que age como zero para a adição.
- Existência de inversos aditivos: para cada polinômio no conjunto, existe outro polinômio que somado a ele dá o vetor zero.
- Associatividade da adição: a ordem de adicionar três polinômios não altera o resultado.
- Comutatividade da adição: a ordem de adicionar dois polinômios não altera o resultado.
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: multiplicar um escalar pela soma de dois polinômios é o mesmo que somar as multiplicações dos escalares por cada polinômio.
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: a soma de dois escalares multiplicados por um polinômio é igual à multiplicação de cada escalar pelo polinômio e depois somando os resultados.
- Compatibilidade da multiplicação por escalares: multiplicar dois escalares diferentes em sequência com um polinômio é o mesmo que multiplicar os escalares primeiro e depois multiplicar pelo polinômio.
- Existência do elemento neutro da multiplicação por escalar: multiplicar qualquer polinômio por 1 não altera o polinômio.
Passo 4
Vamos verificar cada axioma para o conjunto
:
-
Fechamento sob adição:
- Vamos somar dois polinômios
e . -
. - Como
e são reais, a soma está em . - OK.
- Vamos somar dois polinômios
-
Fechamento sob multiplicação por escalar:
- Vamos multiplicar um polinômio
por um escalar . -
. - Como
e são reais, o resultado está em . - OK.
- Vamos multiplicar um polinômio
-
Existência do vetor zero:
- O vetor zero é o polinômio
. - Claramente,
. - OK.
- O vetor zero é o polinômio
-
Existência de inversos aditivos:
- Para um polinômio
, o inverso aditivo é . - Como
e são reais, . - OK.
- Para um polinômio
-
Associatividade da adição:
- Para três polinômios
, -
. - Isso é verdadeiro porque a adição de números reais é associativa.
- OK.
- Para três polinômios
-
Comutatividade da adição:
- Para dois polinômios
, -
. - Isso é verdade porque a adição de números reais é comutativa.
- OK.
- Para dois polinômios
-
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
- Para um escalar
e polinômios , -
. - Calculando:
-
. -
.
-
- Como as duas expressões são iguais, o axioma é satisfeito.
- OK.
- Para um escalar
-
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
- Para escalares
e um polinômio , -
. - Calculando:
-
. -
.
-
- Como as duas expressões são iguais, o axioma é satisfeito.
- OK.
- Para escalares
-
Compatibilidade da multiplicação por escalares:
- Para escalares
e um polinômio , -
. - Calculando:
-
. -
.
-
- As duas são iguais, então o axioma é satisfeito.
- OK.
- Para escalares
-
Existência do elemento neutro da multiplicação por escalar:
- Multiplicar qualquer polinômio
por 1: -
. - OK.
- Multiplicar qualquer polinômio
Resposta
O conjunto
é um espaço vetorial com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.
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com as operações
Se
e
. Supondo que ABCD formam um tetraedro, determine fórmula para o centróide do tetraedro
.
Uma mediana do tetraedro é o segmento de reta determinado por um vértice e o baricentro da face oposta. Mostre que todas as 4 (quatro) medianas do tetraedro
se encontram num mesmo ponto, que será chamado de centróide do tetraedro
.
Você considera possível existir um espaço vetorial formado por exatamente dois vetores distintos? Explique seu raciocínio.