Dado o conjunto de objetos junto com as operações de adição e multiplicação por escalar. Determine quais dos conjuntos são espaços vetoriais. Para os que não são liste as condições que falham. O conjunto dos polinômios de grau menor ao igual 1 coma as operações usuais de polinômios.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que verificar se o conjunto , que são os polinômios de grau menor ou igual a 1, é um espaço vetorial usando as operações usuais de adição e multiplicação por escalar. Para isso, vamos precisar lembrar das propriedades que definem um espaço vetorial e verificar cada uma delas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de objetos (neste caso, polinômios) onde podemos adicionar esses objetos e multiplicá-los por escalares (números reais, aqui) de forma que todas as propriedades de um espaço vetorial sejam satisfeitas. Essas propriedades são chamadas de axiomas.

Passo 3

Vamos listar os axiomas que precisamos verificar:
  1. Fechamento sob adição: se você pegar dois polinômios no conjunto e somar, o resultado também está no conjunto.
  2. Fechamento sob multiplicação por escalar: se você multiplicar um polinômio do conjunto por um número real, o resultado também está no conjunto.
  3. Existência do vetor zero: existe um polinômio no conjunto que age como zero para a adição.
  4. Existência de inversos aditivos: para cada polinômio no conjunto, existe outro polinômio que somado a ele dá o vetor zero.
  5. Associatividade da adição: a ordem de adicionar três polinômios não altera o resultado.
  6. Comutatividade da adição: a ordem de adicionar dois polinômios não altera o resultado.
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: multiplicar um escalar pela soma de dois polinômios é o mesmo que somar as multiplicações dos escalares por cada polinômio.
  8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: a soma de dois escalares multiplicados por um polinômio é igual à multiplicação de cada escalar pelo polinômio e depois somando os resultados.
  9. Compatibilidade da multiplicação por escalares: multiplicar dois escalares diferentes em sequência com um polinômio é o mesmo que multiplicar os escalares primeiro e depois multiplicar pelo polinômio.
  10. Existência do elemento neutro da multiplicação por escalar: multiplicar qualquer polinômio por 1 não altera o polinômio.

Passo 4

Vamos verificar cada axioma para o conjunto :
  1. Fechamento sob adição:
    • Vamos somar dois polinômios e .
    • .
    • Como e são reais, a soma está em .
    • OK.
  2. Fechamento sob multiplicação por escalar:
    • Vamos multiplicar um polinômio por um escalar .
    • .
    • Como e são reais, o resultado está em .
    • OK.
  3. Existência do vetor zero:
    • O vetor zero é o polinômio .
    • Claramente, .
    • OK.
  4. Existência de inversos aditivos:
    • Para um polinômio , o inverso aditivo é .
    • Como e são reais, .
    • OK.
  5. Associatividade da adição:
    • Para três polinômios ,
    • .
    • Isso é verdadeiro porque a adição de números reais é associativa.
    • OK.
  6. Comutatividade da adição:
    • Para dois polinômios ,
    • .
    • Isso é verdade porque a adição de números reais é comutativa.
    • OK.
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
    • Para um escalar e polinômios ,
    • .
    • Calculando:
      • .
      • .
    • Como as duas expressões são iguais, o axioma é satisfeito.
    • OK.
  8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
    • Para escalares e um polinômio ,
    • .
    • Calculando:
      • .
      • .
    • Como as duas expressões são iguais, o axioma é satisfeito.
    • OK.
  9. Compatibilidade da multiplicação por escalares:
    • Para escalares e um polinômio ,
    • .
    • Calculando:
      • .
      • .
    • As duas são iguais, então o axioma é satisfeito.
    • OK.
  10. Existência do elemento neutro da multiplicação por escalar:
    • Multiplicar qualquer polinômio por 1:
    • .
    • OK.

Resposta

O conjunto é um espaço vetorial com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.

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