Dado o conjunto de objetos junto com as operações de adição e multiplicação por escalar. Determine quais dos conjuntos são espaços vetoriais. Para os que não são liste as condições que falham. O conjunto
com as operações
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para verificar se o conjunto
, com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas por
é um espaço vetorial. Para isso, precisamos lembrar quais são os axiomas que definem um espaço vetorial e verificar se o conjunto
os satisfaz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar os principais axiomas de um espaço vetorial sobre o conjunto dos números reais
:
- Fechamento da Adição: A soma de dois vetores está no conjunto.
- Associatividade da Adição:
. - Elemento Neutro da Adição: Existe um vetor zero tal que
. - Elemento Oposto: Para todo vetor
, existe tal que . - Fechamento da Multiplicação por Escalar: O produto de um escalar com um vetor está no conjunto.
- Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Vetores:
. - Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Escalares:
. - Associatividade da Multiplicação por Escalar:
. - Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar:
.
Passo 3
Vamos verificar se o conjunto
satisfaz esses axiomas com as operações definidas.
-
Fechamento da Adição:Mas, para
, . Então, Portanto,não está em , já que não satisfaz . -
Elemento Neutro da Adição:
O vetor zero em espaços vetoriais de funções é a funçãopara todo . Porém, , então não está em .
Essas duas violações já são suficientes para concluir que
não é um espaço vetorial, mas vamos verificar mais alguns para completar a análise.
-
Elemento Oposto:
Para, o oponente seria tal que . Porém, Logo,não está em . -
Multiplicação por Escalar:Para que
esteja em , precisaríamos que para todo escalar , o que não é possível. Portanto, a multiplicação por escalar não é fechada em .
Resposta
O conjunto
não é um espaço vetorial. As condições que falham são o fechamento pela adição, a existência do elemento neutro da adição e a existência do elemento oposto.
Exercícios relacionados
Se
e
. Supondo que ABCD formam um tetraedro, determine fórmula para o centróide do tetraedro
.
Mostrar que as matrizes
e
formam uma base de
.
Dado o conjunto de objetos junto com as operações de adição e multiplicação por escalar. Determine quais dos conjuntos são espaços vetoriais. Para os que não são liste as condições que falham. O conjunto
dos polinômios de grau menor ao igual 1 coma as operações usuais de polinômios.
Uma mediana do tetraedro é o segmento de reta determinado por um vértice e o baricentro da face oposta. Mostre que todas as 4 (quatro) medianas do tetraedro
se encontram num mesmo ponto, que será chamado de centróide do tetraedro
.