Dado o conjunto de objetos junto com as operações de adição e multiplicação por escalar. Determine quais dos conjuntos são espaços vetoriais. Para os que não são liste as condições que falham. O conjunto com as operações

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para verificar se o conjunto , com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas por
é um espaço vetorial. Para isso, precisamos lembrar quais são os axiomas que definem um espaço vetorial e verificar se o conjunto os satisfaz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar os principais axiomas de um espaço vetorial sobre o conjunto dos números reais :
  1. Fechamento da Adição: A soma de dois vetores está no conjunto.
  2. Associatividade da Adição: .
  3. Elemento Neutro da Adição: Existe um vetor zero tal que .
  4. Elemento Oposto: Para todo vetor , existe tal que .
  5. Fechamento da Multiplicação por Escalar: O produto de um escalar com um vetor está no conjunto.
  6. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Vetores: .
  7. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Escalares: .
  8. Associatividade da Multiplicação por Escalar: .
  9. Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar: .

Passo 3

Vamos verificar se o conjunto satisfaz esses axiomas com as operações definidas.
  1. Fechamento da Adição:
    Mas, para , . Então,
    Portanto, não está em , já que não satisfaz .
  2. Elemento Neutro da Adição:
    O vetor zero em espaços vetoriais de funções é a função para todo . Porém, , então não está em .
Essas duas violações já são suficientes para concluir que não é um espaço vetorial, mas vamos verificar mais alguns para completar a análise.
  1. Elemento Oposto:
    Para , o oponente seria tal que . Porém,
    Logo, não está em .
  2. Multiplicação por Escalar:
    Para que esteja em , precisaríamos que para todo escalar , o que não é possível. Portanto, a multiplicação por escalar não é fechada em .

Resposta

O conjunto não é um espaço vetorial. As condições que falham são o fechamento pela adição, a existência do elemento neutro da adição e a existência do elemento oposto.

Exercícios relacionados

Se e . Supondo que ABCD formam um tetraedro, determine fórmula para o centróide do tetraedro .
Mostrar que as matrizes e formam uma base de .
Dado o conjunto de objetos junto com as operações de adição e multiplicação por escalar. Determine quais dos conjuntos são espaços vetoriais. Para os que não são liste as condições que falham. O conjunto dos polinômios de grau menor ao igual 1 coma as operações usuais de polinômios.
Uma mediana do tetraedro é o segmento de reta determinado por um vértice e o baricentro da face oposta. Mostre que todas as 4 (quatro) medianas do tetraedro se encontram num mesmo ponto, que será chamado de centróide do tetraedro .