Um medicamento líquido com viscosidade e massa específica da água deve ser administrado através de uma agulha hipodérmica. O diâmetro interno da agulha é de 0,25 mm e o seu comprimento é 50 mm. Determine (a) a máxima vazão em volume para qual o escoamento será laminar. (b) a queda de pressão requerida para fornecer a vazão máxima e © a correspondente tensão de cisalhamento na parede. (FOX 8.56)

Passo 1

Beleza, então vamos lá! A gente vai resolver esse exercício que fala sobre o fluxo de um medicamento líquido através de uma agulha hipodérmica. O conteúdo principal aqui é Mecânica dos Fluidos, e vamos precisar usar a Equação de Hagen-Poiseuille para entender como o fluido se comporta dentro da agulha. Vamos também verificar se o fluxo é laminar, ou seja, se ele ocorre de forma suave e ordenada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa fluxo laminar. Em mecânica dos fluidos, o fluxo laminar ocorre quando as partículas do fluido se movem em camadas paralelas, sem se misturarem. Para determinar se o fluxo é laminar, usamos o Número de Reynolds (Re). Se o Re for menor que 2000, geralmente consideramos que o fluxo é laminar.
A fórmula do Número de Reynolds é:
Re = rho v Dmu
Onde:
  • é a massa específica do fluido,
  • é a velocidade média do fluido,
  • é o diâmetro do tubo,
  • é a viscosidade dinâmica do fluido.
Mas, para facilitar, vamos usar diretamente a condição para o fluxo laminar no tubo, que nos leva à equação de Hagen-Poiseuille.

Passo 3

A Equa��ão de Hagen-Poiseuille nos dá a relação entre a vazão volumétrica ( Q = pi D^4 De), a diferença de pressão ( ), o diâmetro do tubo ( ), o comprimento do tubo ( ) e a viscosidade dinâmica do fluido ( ):
Como queremos encontrar a máxima vazão para que o fluxo seja laminar, precisamos rearranjar essa equação para resolver considerando o limite do Número de Reynolds.

Passo 4

Vamos supor que o fluxo atinge o limite de laminar quando Q = v cdot A . Podemos relacionar a velocidade A = pi D^24 com a vazão Q = v cdot pi D^24 usando:
Onde é a área da seção transversal da agulha:
Substituindo na equação de :
Agora, substituímos da equação do Número de Reynolds e resolvemos para .

Passo 5

Vamos juntar tudo:
  1. Do Número de Reynolds:
Re = rho v Dmu <= 2000
  1. Expressando v = 4Qpi D^2 em termos de rho cdot 4Qpi D^2 cdot Dmu <= 2000 :
4rho Qpi D mu <= 2000
  1. Substituindo Q <= 2000 cdot pi D mu4 rho na equação do Re:
Q <= 500 cdot pi D murho
Simplificando:
Resolvendo para :

Passo 6

Agora, vamos inserir os valores fornecidos:
  • Diâmetro interno da agulha, Q <= 500 cdot pi cdot 0,00025 cdot 0,0011000
  • Comprimento da agulha, Q <= 500 cdot 3,1416 cdot 0,00025 cdot 0,0011000
  • Massa específica da água, Q <= 0,00039271000
  • Viscosidade da água, Q <= 3,927 times 10^-7 m^3/s
Substituindo na fórmula:
Q <= 3,927 times 10^-7 times 10^6 = 0,3927 mL/s
Convertendo para mL/s (1 m³ = 10^6 mL):

Passo 7

Então, a máxima vazão em volume para que o escoamento seja laminar é aproximadamente 0,3927 mL/s.

Resposta

A máxima vazão em volume para a qual o escoamento será laminar é de aproximadamente 0,3927 mL/s.

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