Se a medida de um dos ângulos internos de um paralelogramo é 120º e as medidas de dois de seus lados são respectivamente 6 cm e 10 cm, então o comprimento, em metros, da maior diagonal deste paralelogramo é:
a) 11
b) 12
c) 13
d) 14
e) 15

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um paralelogramo com um dos ângulos medindo 120º e lados de 6 cm e 10 cm. Precisamos encontrar o comprimento da maior diagonal desse paralelogramo, e o resultado deve estar em metros. Para isso, vamos usar conceitos de geometria sobre paralelogramos e aplicar a fórmula das diagonais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um paralelogramo tem dois pares de lados iguais e seus ângulos opostos são iguais. Além disso, as diagonais de um paralelogramo não são necessariamente iguais, a menos que o paralelogramo seja um retângulo ou um losango.

Passo 3

A fórmula para encontrar o comprimento das diagonais de um paralelogramo é a seguinte:
d = raiza^2 + b^2 pm 2ab cos(theta)
Aqui, a e b são os comprimentos dos lados, theta é um dos ângulos internos, e o sinal + ou - depende de qual diagonal estamos calculando.

Passo 4

Como temos um ângulo de 120º, vamos calcular o cosseno desse ângulo:
cos(120º) = -0,5 º

Passo 5

Agora, vamos aplicar a fórmula para as duas diagonais:
Para a diagonal maior ( dmaior):
dmaior = raiz6^2 + 10^2 + 2 times 6 times 10 times (-0,5)
Calculando passo a passo:
6^2 = 36
10^2 = 100
2 times 6 times 10 times (-0,5) = -60
dmaior = raiz36 + 100 - 60 = raiz76 approx 8,72 cm
Para a diagonal menor ( dmenor):
dmenor = raiz6^2 + 10^2 - 2 times 6 times 10 times (-0,5)
Calculando passo a passo:
2 times 6 times 10 times (-0,5) = -60
dmenor = raiz36 + 100 + 60 = raiz196 = 14 cm

Passo 6

Percebemos que houve uma confusão. Na verdade, a diagonal maior é aquela que soma ou subtrai o termo 2ab cos(theta). Vamos refazer os cálculos:
Para a diagonal maior ( dmaior):
dmaior = raiz6^2 + 10^2 - 2 times 6 times 10 times cos(120º) º
dmaior = raiz36 + 100 - 2 times 6 times 10 times (-0,5)
dmaior = raiz136 + 60 = raiz196 = 14 cm

Passo 7

Agora, precisamos converter o resultado para metros. Sabemos que 1 metro = 100 cm, então:
14 cm = 0,14 metros
No entanto, como as opções são em números inteiros e considerando que talvez tenha havido um erro na conversão, vamos verificar novamente.
Na verdade, parece que houve um equívoco na interpretação das opções. As opções provavelmente consideram o valor em cm convertido para metros sem a vírgula, ou seja, 14 cm corresponde a 0,14 metros, mas nenhuma opção bate exatamente. Vamos considerar que a maior diagonal é 14 cm, que corresponde à opção d) 14.

Resposta

d) 14

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