Uma medida útil da condição física đe uma pessoa é a fração de gordura đo corpo. Este problema descreve uma técnica simples para estimar esta fração pesando duas vezes a pessoa, uma no ar e a outra submersa em água.
(a) Um homem tem uma massa corporal
. Se ele é pesado em uma balança calibrada em newtons, qual será a leitura? Se ele é pesado enquanto está completamente submerso na água a
(densidade relativa
) e a escala mostra
, qual é o volume do corpo (litros)? (Sugestäo: Lembre do princípio de Arquimedes, que diz que o peso de um objeto submerso é igual ao seu peso no ar menos o empuxo sobre o objeto, que por sua vez é igual ao peso da água deslocada pelo objeto. Despreze o empuxo do ar.) Qual é a massa específica do corpo,
?
(a) Um homem tem uma massa corporal
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre medir a condição física de uma pessoa usando a fração de gordura corporal. Para isso, vamos precisar usar o Princípio de Arquimedes e algumas fórmulas de física básica. No primeiro passo, temos que calcular o peso do homem no ar usando a massa fornecida e, depois, vamos usar a informação quando ele está submerso na água para encontrar o volume do corpo e a massa específica.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o peso do homem no ar. Sabemos que o peso (força) é dado pela fórmula:
Onde:
-
é o peso em newtons (N) -
é a massa em quilogramas (kg) -
é a aceleração da gravidade (~9,81 m/s²)
Então, substituindo os valores:
Passo 3
Fazendo a multiplicação:
Então, a balança vai ler aproximadamente 1201,93 N quando o homem for pesado no ar.
Passo 4
Agora, quando o homem está submerso na água, a balança mostra uma leitura de 44,0 N. De acordo com o Princípio de Arquimedes, o empuxo (
) é igual ao peso da água deslocada pelo corpo, e o peso aparente na água é:
Sabemos que
e
. Então, podemos rearranjar para encontrar o empuxo:
Passo 5
O empuxo também é igual ao peso da água deslocada, que pode ser calculado pela fórmula:
Onde:
-
é a densidade relativa da água (0,996 kg/L) -
é o volume deslocado em litros (L) -
é a aceleração da gravidade (9,81 m/s²)
Queremos encontrar
, então rearranjamos a fórmula:
Passo 6
Vamos calcular:
Então, o volume do corpo é aproximadamente 118,35 litros.
Passo 7
Agora, para encontrar a massa específica (
) do corpo, usamos a fórmula:
Onde:
-
é a massa corporal (122,5 kg) -
é o volume que acabamos de calcular (118,35 L)
Substituindo os valores:
Resposta
O peso do homem no ar é aproximadamente 1201,93 N, o volume do corpo é 118,35 litros e a massa específica do corpo é cerca de 1,035 kg/L.
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