Mediu-se a diferença de potencial nos terminais de um capacitor em processo de carga, como função do tempo, e os dados experimentais foram tabelados abaixo.
V (
|
3,60 | 8,00 | 14,00 | 31,00 | 80,00 | 180,00 | 270,00 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
|
5,00 | 15,00 | 20,00 | 30,00 | 41,50 | 50,00 | 55,00 |
Sabendo que a equação que rege o fenômeno é do tipo:
, onde A e B são constantes. A) plote o gráfico Vvs t, b) linearize a função e identifique as variáveis dependente e independente, bem como os coeficientes angular e linear. C) Calcule a regressão linear e escreva a equação que governa o fenômeno.
Passo 1
Então, vamos lá! Você tem um exercício sobre a carga de um capacitor, onde medimos a diferença de potencial (V) nos terminais do capacitor ao longo do tempo (t). A gente precisa:
A) Plotar o gráfico de V versus t.
B) Transformar a função exponencial que descreve o fenômeno em uma função linear e identificar as variáveis e coeficientes.
C) Fazer a regressão linear dos dados e escrever a equação final que explica como a tensão varia com o tempo.
B) Transformar a função exponencial que descreve o fenômeno em uma função linear e identificar as variáveis e coeficientes.
C) Fazer a regressão linear dos dados e escrever a equação final que explica como a tensão varia com o tempo.
Para isso, vamos usar conceitos de eletricidade, matemática das funções exponenciais e regressão linear. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Parte A: Plotando o gráfico V vs t
Primeiro, vamos visualizar como a tensão (V) varia com o tempo (t). Isso ajuda a entender o comportamento do capacitor durante a carga.
Temos a seguinte tabela de dados:
V (μV) | t (ms) |
---|---|
3,60 | 5,00 |
8,00 | 15,00 |
14,00 | 20,00 |
31,00 | 30,00 |
80,00 | 41,50 |
180,00 | 50,00 |
270,00 | 55,00 |
Para plotar o gráfico:
- No eixo horizontal (x), colocamos o tempo t em milissegundos (ms).
- No eixo vertical (y), colocamos a tensão V em micrômetros (μV).
- Marcamos os pontos correspondentes a cada par (t, V).
- Conectamos os pontos para visualizar a tendência de aumento da tensão com o tempo.
Como não dá para mostrar o gráfico aqui, imagina uma curva que começa lá em baixo e sobe de forma acelerada, típica de um processo exponencial.
Passo 3
Parte B: Linearizando a função e identificando as variáveis
A equação que descreve a tensão no capacitor é do tipo:
Queremos transformar essa função exponencial em uma forma linear para facilitar a análise. Para isso, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação:
Agora, temos uma equação linear na forma:
Identificando as variáveis e coeficientes:
- Variável independente (x): Tempo
- Variável dependente (y): Logaritmo da tensão
- Coeficiente angular (pendente):
- Coeficiente linear (intercepto):
Isso significa que, se plotarmos
em função de
, teremos uma linha reta onde a inclinação é
e o ponto onde corta o eixo y é
.
Passo 4
Parte C: Calculando a regressão linear e escrevendo a equação
Vamos transformar os dados de V para
e então aplicar a regressão linear para encontrar os valores de
e
.
Primeiro, calculamos
para cada valor de V:
V (μV) | t (ms) | ln V |
---|---|---|
3,60 | 5,00 | 1,2809 |
8,00 | 15,00 | 2,0794 |
14,00 | 20,00 | 2,6391 |
31,00 | 30,00 | 3,433987 |
80,00 | 41,50 | 4,3820 |
180,00 | 50,00 | 5,19295 |
270,00 | 55,00 | 5,5985 |
Agora, aplicamos a regressão linear nos pares (t, ln V). Para simplificar, vamos usar a fórmula da regressão linear:
Onde
é o número de pontos.
Calculando os somatórios:
Vamos calcular cada somatório:
Calculando B:
Calculando ln A:
Agora, podemos encontrar A:
Resposta
A equação que governa o fenômeno de carga do capacitor é:
Onde:
-
é a tensão em μV, -
é o tempo em ms, -
é a constante inicial, -
é a constante de decaimento.