Na mega-sena existem sessenta dezenas numeradas (01,02, ldots, 60), das quais seis serão sorteadas. Sejam X: a menor dezena sorteada; e Y: a maior dezena sorteada.
(a) Qual é o suporte do vetor aleatório (X, Y)^top ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema envolvendo a Mega-Sena, que sorteia seis números entre 01 e 60. Queremos descobrir o suporte do vetor aleatório (X, Y)^top, onde X é o menor número sorteado e Y é o maior. O suporte basicamente representa todos os pares (X, Y) possíveis que podem ocorrer nesse sorteio. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre combinatória e propriedades de vetores aleatórios.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o suporte de um vetor aleatório. O suporte é o conjunto de todos os valores que o vetor pode assumir com probabilidade maior que zero. No nosso caso, queremos saber todas as combinações possíveis de (X, Y).

Passo 3

Como X é o menor número sorteado, ele pode variar de 1 até o maior valor que ainda permite que haja cinco outros números maiores. Da mesma forma, Y é o maior número sorteado, então ele pode variar de 6 até 60. Isso porque, se X for 1, o menor Y possível é 6 (pois precisamos de seis números distintos), e assim por diante.

Passo 4

Para generalizar, se X = x, então Y precisa ser pelo menos x + 5. Isso garante que haja cinco números maiores que x. Além disso, Y não pode ser maior que 60. Portanto, para cada valor de x, y varia de x + 5 até 60.

Passo 5

Agora, vamos formalizar isso usando matemática. O suporte do vetor (X, Y)^top é o conjunto de todos os pares (x, y) onde:
  • x varia de 1 até 55 (porque 60 - 5 = 55),
  • y varia de x + 5 até 60.
Então, podemos expressar o suporte como:
, (x, y) in N^2 mid 1 <= x <= 55 e x + 5 <= y <= 60 ,

Resposta

O suporte do vetor aleatório (X, Y)^top é:
, (x, y) in N^2 mid 1 <= x <= 55 e x + 5 <= y <= 60 ,

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