Um teste de aptidão feito por pilotos de aeronaves em treinamento requer que uma série de testes. O tempo necessário para completar os testes segue uma distribuição normal com média 90 e desvio padrão 20 minutos.
- a) Qual é a probabilidade de o candidato ser aprovado se para passar no teste ele deve completá-lo em menos de 80 minutos. Se 60 candidatos fazem o teste, quantos candidatos são esperados passar no teste.
- b) Se os 5 por cento melhores candidatos serão alocados para aeronaves maiores, qual deve ser o tempodo candidato para obter essa posição.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de distribuição normal, que é um conceito importante em estatística. Vamos precisar saber como calcular probabilidades usando a média e o desvio padrão, além de entender como encontrar percentis em uma distribuição normal. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parte a). Temos uma média (
) de 90 minutos e um desvio padrão (
) de 20 minutos. Queremos saber a probabilidade de um candidato completar o teste em menos de 80 minutos.
Passo 3
Para encontrar essa probabilidade, vamos usar a transformação para o escore z. O escore z nos diz quantos desvios padrão um valor está acima ou abaixo da média. A fórmula é:
Onde
é o valor que queremos avaliar.
Passo 4
Aplicando a fórmula:
Então, o escore z é -0,5.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a z = -0,5. Usando uma tabela de distribuição normal ou uma calculadora, descobrimos que a probabilidade de z ser menor que -0,5 é aproximadamente 0,3085, ou 30,85%.
Passo 6
Isso significa que cada candidato tem 30,85% de chance de completar o teste em menos de 80 minutos e ser aprovado.
Passo 7
Agora, se 60 candidatos fazem o teste, para saber quantos são esperados a passar, multiplicamos a probabilidade pelo número total de candidatos:
Então, esperamos que aproximadamente 19 candidatos passem no teste.
Passo 8
Vamos agora para a parte b). Queremos encontrar o tempo que separa os 5% melhores candidatos para alocação em aeronaves maiores. Isso significa que estamos procurando o percentil 95 da distribuição normal, já que os 5% melhores estão acima desse ponto.
Passo 9
Primeiro, precisamos encontrar o escore z correspondente ao percentil 95. Usando uma tabela de distribuição normal ou uma calculadora, descobrimos que z ≈ 1,645.
Passo 10
Agora, usamos a fórmula inversa para encontrar o valor
:
Substituindo os valores:
Resposta
a) A probabilidade de um candidato ser aprovado é de aproximadamente 30,85%. Espera-se que cerca de 19 candidatos passem no teste.
b) O tempo que o candidato deve obter para estar entre os 5% melhores é de aproximadamente 123 minutos.