Um teste de aptidão feito por pilotos de aeronaves em treinamento requer que uma série de testes. O tempo necessário para completar os testes segue uma distribuição normal com média 90 e desvio padrão 20 minutos.
  • a) Qual é a probabilidade de o candidato ser aprovado se para passar no teste ele deve completá-lo em menos de 80 minutos. Se 60 candidatos fazem o teste, quantos candidatos são esperados passar no teste.
  • b) Se os 5 por cento melhores candidatos serão alocados para aeronaves maiores, qual deve ser o tempodo candidato para obter essa posição.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de distribuição normal, que é um conceito importante em estatística. Vamos precisar saber como calcular probabilidades usando a média e o desvio padrão, além de entender como encontrar percentis em uma distribuição normal. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parte a). Temos uma média ( mu) de 90 minutos e um desvio padrão ( sigma) de 20 minutos. Queremos saber a probabilidade de um candidato completar o teste em menos de 80 minutos.

Passo 3

Para encontrar essa probabilidade, vamos usar a transformação para o escore z. O escore z nos diz quantos desvios padrão um valor está acima ou abaixo da média. A fórmula é:
z = X - musigma
Onde X é o valor que queremos avaliar.

Passo 4

Aplicando a fórmula:
z = 80 - 9020 = -1020 = -0,5
Então, o escore z é -0,5.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a z = -0,5. Usando uma tabela de distribuição normal ou uma calculadora, descobrimos que a probabilidade de z ser menor que -0,5 é aproximadamente 0,3085, ou 30,85%.

Passo 6

Isso significa que cada candidato tem 30,85% de chance de completar o teste em menos de 80 minutos e ser aprovado.

Passo 7

Agora, se 60 candidatos fazem o teste, para saber quantos são esperados a passar, multiplicamos a probabilidade pelo número total de candidatos:
Número esperado = 60 times 0,3085 approx 18,51 ú
Então, esperamos que aproximadamente 19 candidatos passem no teste.

Passo 8

Vamos agora para a parte b). Queremos encontrar o tempo que separa os 5% melhores candidatos para alocação em aeronaves maiores. Isso significa que estamos procurando o percentil 95 da distribuição normal, já que os 5% melhores estão acima desse ponto.

Passo 9

Primeiro, precisamos encontrar o escore z correspondente ao percentil 95. Usando uma tabela de distribuição normal ou uma calculadora, descobrimos que z ≈ 1,645.

Passo 10

Agora, usamos a fórmula inversa para encontrar o valor X:
X = mu + z times sigma
Substituindo os valores:
X = 90 + 1,645 times 20 = 90 + 32,9 = 122,9

Resposta

a) A probabilidade de um candidato ser aprovado é de aproximadamente 30,85%. Espera-se que cerca de 19 candidatos passem no teste.
b) O tempo que o candidato deve obter para estar entre os 5% melhores é de aproximadamente 123 minutos.

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