Qual é o melhor estimador de ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me perguntou qual é o melhor estimador para . Basicamente, estamos falando de estatística, mais especificamente de estimação de parâmetros. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um estimador e quais critérios usamos para definir se ele é o “melhor”.

Passo 2

Primeiro, vamos esclarecer o que é um estimador. Um estimador é uma regra ou fórmula que usamos para calcular uma estimativa de um parâmetro desconhecido da população, como a média . Por exemplo, a média amostral é um estimador comum para .

Passo 3

Agora, precisamos entender o que torna um estimador o “melhor”. Existem alguns critérios, mas os mais importantes são:
  • Não viesado: O estimador, em média, deve dar o valor correto do parâmetro.
  • Menor variância: Entre todos os estimadores não viesados, o melhor é aquele que tem a menor variância, ou seja, é mais consistente.
  • Consistência: Conforme aumentamos o tamanho da amostra, o estimador deve se aproximar do valor real de .

Passo 4

No caso do estimador da média , a média amostral é um bom candidato porque:
  • Não viesado: , ou seja, a média das médias amostrais é igual a .
  • Menor variância: Entre todos os estimadores lineares não viesados para , a média amostral tem a menor variância, devido ao teorema de Gauss-Markov.
  • Consistência: À medida que o tamanho da amostra aumenta, a variância de diminui, tornando a estimativa mais precisa.

Passo 5

Além disso, se assumirmos que os dados seguem uma distribuição normal, a média amostral não só é o melhor estimador linear não viesado, mas também é o estimador máximo de verossimilhança, o que reforça sua posição como o melhor estimador para .

Resposta

Portanto, o melhor estimador de é a média amostral .

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