Qual é o melhor estimador de
? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me perguntou qual é o melhor estimador para
. Basicamente, estamos falando de estatística, mais especificamente de estimação de parâmetros. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um estimador e quais critérios usamos para definir se ele é o “melhor”.
Passo 2
Primeiro, vamos esclarecer o que é um estimador. Um estimador é uma regra ou fórmula que usamos para calcular uma estimativa de um parâmetro desconhecido da população, como a média
. Por exemplo, a média amostral
é um estimador comum para
.
Passo 3
Agora, precisamos entender o que torna um estimador o “melhor”. Existem alguns critérios, mas os mais importantes são:
- Não viesado: O estimador, em média, deve dar o valor correto do parâmetro.
- Menor variância: Entre todos os estimadores não viesados, o melhor é aquele que tem a menor variância, ou seja, é mais consistente.
- Consistência: Conforme aumentamos o tamanho da amostra, o estimador deve se aproximar do valor real de
.
Passo 4
No caso do estimador da média
, a média amostral
é um bom candidato porque:
- Não viesado:
, ou seja, a média das médias amostrais é igual a . - Menor variância: Entre todos os estimadores lineares não viesados para
, a média amostral tem a menor variância, devido ao teorema de Gauss-Markov. - Consistência: À medida que o tamanho da amostra
aumenta, a variância de diminui, tornando a estimativa mais precisa.
Passo 5
Além disso, se assumirmos que os dados seguem uma distribuição normal, a média amostral
não só é o melhor estimador linear não viesado, mas também é o estimador máximo de verossimilhança, o que reforça sua posição como o melhor estimador para
.
Resposta
Portanto, o melhor estimador de
é a média amostral
.