Suponha que B1, B2 e B3 são eventos mutuamente excludentes de um espaço amostral Omega. Se P(Bj)=1 / 3 e P(A / Bj)=j6, j=1,2,3, calcule P(A).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três eventos, , e , que não podem acontecer ao mesmo tempo (mutuamente excluentes) dentro de um espaço amostral . Cada um desses eventos tem a mesma probabilidade de acontecer, que é . Além disso, queremos descobrir a probabilidade do evento acontecer dado que um dos ocorreu, onde pode ser 1, 2 ou 3, e essas probabilidades condicionais são . Nosso objetivo é calcular .
Vamos usar a Regra da Probabilidade Total para resolver isso. Basicamente, essa regra nos ajuda a encontrar a probabilidade de um evento acontecendo considerando todas as possíveis situações que podem levar a .

Passo 2

A Regra da Probabilidade Total diz que:
P(A) = sumj=1^3 P(A mid Bj) cdot P(Bj)
Isso significa que para encontrar , a gente soma as probabilidades de acontecer dado cada multiplicadas pela probabilidade de cada acontecer.

Passo 3

Vamos substituir os valores que a questão nos deu na fórmula. Sabemos que P(A) = P(A mid B1) cdot P(B1) + P(A mid B2) cdot P(B2) + P(A mid B3) cdot P(B3) para todo P(A) = ( 16 ) cdot ( 13 ) + ( 26 ) cdot ( 13 ) + ( 36 ) cdot ( 13 ) , e . Então temos:
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, vamos calcular cada termo:
( 16 ) cdot ( 13 ) = 118
( 26 ) cdot ( 13 ) = 218
( 36 ) cdot ( 13 ) = 318

Passo 5

Somando todos esses valores:
P(A) = 118 + 218 + 318 = 618 = 13

Resposta

A probabilidade de acontecer é .

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