São dadas duas urnas A e B. A urna A contém uma bola preta e uma vermelha. A urna B contém duas bolas pretas e três vermelhas. Uma bola é escolhida ao acaso na urna A e colocada na urna B. Uma bola é então extraída ao acaso, da urna B. Pergunta-se:
(b) Qual a probabilidade de que a primeira bola seja vermelha, sabendo-se que a segunda foi preta.
(b) Qual a probabilidade de que a primeira bola seja vermelha, sabendo-se que a segunda foi preta.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas urnas:
- Urna A: 1 bola preta e 1 bola vermelha.
- Urna B: 2 bolas pretas e 3 bolas vermelhas.
O processo é o seguinte:
- Escolhemos uma bola aleatoriamente na Urna A e colocamos na Urna B.
- Em seguida, extraímos uma bola aleatoriamente da Urna B.
Queremos saber a probabilidade de que a primeira bola escolhida da Urna A foi vermelha, dado que a segunda bola extraída da Urna B foi preta. Ou seja, queremos calcular
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e probabilidade total.
Passo 2
Vamos definir os eventos:
-
: A primeira bola escolhida da Urna A é vermelha. -
: A primeira bola escolhida da Urna A é preta. -
: A segunda bola extraída da Urna B é preta.
Precisamos calcular
, que é a probabilidade de
acontecer dado que
ocorreu.
Passo 3
Pela definição de probabilidade condicional:
Ou seja, a probabilidade de
e
acontecerem juntas, dividida pela probabilidade de
acontecer.
Passo 4
Vamos calcular
e
:
-
Calculando
: - Probabilidade de escolher uma bola vermelha da Urna A:
. - Se transferirmos uma bola vermelha para a Urna B, então a Urna B terá 2 pretas e 4 vermelhas.
- Probabilidade de extrair uma preta da Urna B após a transferência:
. - Então,
.
- Probabilidade de escolher uma bola vermelha da Urna A:
-
Calculando
: - Pode ocorrer de duas formas: transferir uma bola vermelha ou preta da Urna A.
a. Transferir uma vermelha:- Já calculamos:
.
b. Transferir uma preta:-
Probabilidade de escolher uma preta da Urna A:
. -
Após a transferência, a Urna B terá 3 pretas e 3 vermelhas.
-
Probabilidade de extrair uma preta:
. -
Então,
. -
Portanto,
.
Passo 5
Agora, substituímos os valores na fórmula da probabilidade condicional:
Resposta
A probabilidade de que a primeira bola seja vermelha, sabendo-se que a segunda foi preta, é
ou 40%.
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Você entrega a seu amigo uma carta, destinada à sua (seu) namorada(o), para ser colocada no correio. Entretanto, ele pode se esquecer com probabilidade 0,1 . Se não se esquecer, a probabilidade de que o correio extravie a carta é de 0,1 . Finalmente, se foi enviado pelo correio a probabilidade de que a namorada(o) não receba é de 0,1 .
(b) Qual é a probabilidade da(o) namorada(o) não receber a carta.
(b) Qual é a probabilidade da(o) namorada(o) não receber a carta.
Qual é o melhor estimador de
? Justifique sua resposta.
Verifique: Se A e B são eventos independentes e disjuntos, então
ou
Se
e
e
. Calcular
(b) .
(b)