São dadas duas urnas A e B. A urna A contém uma bola preta e uma vermelha. A urna B contém duas bolas pretas e três vermelhas. Uma bola é escolhida ao acaso na urna A e colocada na urna B. Uma bola é então extraída ao acaso, da urna B. Pergunta-se:
(b) Qual a probabilidade de que a primeira bola seja vermelha, sabendo-se que a segunda foi preta.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas urnas:
  • Urna A: 1 bola preta e 1 bola vermelha.
  • Urna B: 2 bolas pretas e 3 bolas vermelhas.
O processo é o seguinte:
  1. Escolhemos uma bola aleatoriamente na Urna A e colocamos na Urna B.
  2. Em seguida, extraímos uma bola aleatoriamente da Urna B.
Queremos saber a probabilidade de que a primeira bola escolhida da Urna A foi vermelha, dado que a segunda bola extraída da Urna B foi preta. Ou seja, queremos calcular .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e probabilidade total.

Passo 2

Vamos definir os eventos:
  • : A primeira bola escolhida da Urna A é vermelha.
  • : A primeira bola escolhida da Urna A é preta.
  • : A segunda bola extraída da Urna B é preta.
Precisamos calcular , que é a probabilidade de acontecer dado que ocorreu.

Passo 3

Pela definição de probabilidade condicional:
Ou seja, a probabilidade de e acontecerem juntas, dividida pela probabilidade de acontecer.

Passo 4

Vamos calcular e :
  1. Calculando :
    • Probabilidade de escolher uma bola vermelha da Urna A: .
    • Se transferirmos uma bola vermelha para a Urna B, então a Urna B terá 2 pretas e 4 vermelhas.
    • Probabilidade de extrair uma preta da Urna B após a transferência: .
    • Então, .
  2. Calculando :
    • Pode ocorrer de duas formas: transferir uma bola vermelha ou preta da Urna A.
    a. Transferir uma vermelha:
    • Já calculamos: .
    b. Transferir uma preta:
    • Probabilidade de escolher uma preta da Urna A: .
    • Após a transferência, a Urna B terá 3 pretas e 3 vermelhas.
    • Probabilidade de extrair uma preta: .
    • Então, .
    • Portanto, .

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula da probabilidade condicional:

Resposta

A probabilidade de que a primeira bola seja vermelha, sabendo-se que a segunda foi preta, é ou 40%.

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Você entrega a seu amigo uma carta, destinada à sua (seu) namorada(o), para ser colocada no correio. Entretanto, ele pode se esquecer com probabilidade 0,1 . Se não se esquecer, a probabilidade de que o correio extravie a carta é de 0,1 . Finalmente, se foi enviado pelo correio a probabilidade de que a namorada(o) não receba é de 0,1 .
(b) Qual é a probabilidade da(o) namorada(o) não receber a carta.
Qual é o melhor estimador de ? Justifique sua resposta.
Verifique: Se A e B são eventos independentes e disjuntos, então ou
Se e e . Calcular
(b) .