Um menino está inicialmente sentado no topo de um iglu (formato semiesférico) de raio R=3 m. Suponha que o atrito com o gelo é desprezível e que ele começa a deslizar a partir do repouso. Em que altura do chão h o menino perde contato com o gelo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos conta sobre um menino que começa a deslizar do topo de um iglu semiesférico de raio R = 3 metros. Queremos descobrir em que altura h acima do chão ele perde o contato com o gelo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática e dinâmica, além de um pouquinho de conservação de energia. Vamos precisar entender as forças envolvidas e como a energia do menino se comporta enquanto ele desliza.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “perder o contato com o gelo”. Isso acontece quando a força normal que o gelo exerce sobre o menino se torna zero. Ou seja, a única força atuando nele será a força da gravidade.

Passo 3

Vamos considerar o movimento do menino em um ponto qualquer enquanto ele desliza. Nesse ponto, existem duas forças principais agindo sobre ele:
  1. A força da gravidade ( mg) que puxa o menino para baixo.
  2. A força normal ( N) que o gelo exerce no menino, perpendicular à superfície do iglu.
Quando o menino está deslizando, ele está em movimento circular, então precisa de uma força centrípeta para manter esse movimento. A força centrípeta ( Fc) é fornecida pela componente da força normal e da força da gravidade que apontam para o centro do iglu.

Passo 4

A condição para o menino perder o contato com o gelo é quando a força normal N se torna zero. Nesse ponto, toda a força centrípeta será fornecida apenas pela componente da força da gravidade. A equação fica assim:
mg costheta = mv^2R
Aqui, theta é o ângulo entre a vertical e a posição do menino no iglu, v é a velocidade do menino naquele ponto, e R é o raio do iglu.

Passo 5

Vamos usar a conservação de energia para relacionar a velocidade v com a altura theta. No início, o menino está no topo do iglu com energia potencial máxima e velocidade zero. Quando ele desce até o ponto onde perde o contato, parte dessa energia potencial se transforma em energia cinética.
A energia inicial é:
Einicial = mgR
A energia no ponto qualquer é:
Efinal = 12mv^2 + mgRcostheta
Pelas leis de conservação de energia:
mgR = 12mv^2 + mgRcostheta

Passo 6

Vamos simplificar a equação da conservação de energia para encontrar v^2:
mgR - mgRcostheta = 12mv^2 mgR(1 - costheta) = 12mv^2 v^2 = 2gR(1 - costheta)

Passo 7

Agora, substituímos v^2 na equação da força centrípeta:
gcostheta = 2gR(1 - costheta)R gcostheta = 2g(1 - costheta)
Os termos g e R se cancelam:
costheta = 2(1 - costheta) costheta = 2 - 2costheta 3costheta = 2 costheta = 23

Passo 8

Agora que encontramos costheta = 23, podemos relacionar isso com a altura h. A altura h é a distância vertical do menino ao chão, que pode ser expressa como:
h = R(1 - costheta)
Substituindo costheta:
h = 3(1 - 23) h = 3(13) h = 1 , m

Resposta

O menino perde contato com o gelo a uma altura de 1 metro acima do chão.

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