Um menino está inicialmente sentado no topo de um iglu (formato semiesférico) de raio
. Suponha que o atrito com o gelo é desprezível e que ele começa a deslizar a partir do repouso. Em que altura do chão
o menino perde contato com o gelo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos conta sobre um menino que começa a deslizar do topo de um iglu semiesférico de raio
metros. Queremos descobrir em que altura
acima do chão ele perde o contato com o gelo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática e dinâmica, além de um pouquinho de conservação de energia. Vamos precisar entender as forças envolvidas e como a energia do menino se comporta enquanto ele desliza.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “perder o contato com o gelo”. Isso acontece quando a força normal que o gelo exerce sobre o menino se torna zero. Ou seja, a única força atuando nele será a força da gravidade.
Passo 3
Vamos considerar o movimento do menino em um ponto qualquer enquanto ele desliza. Nesse ponto, existem duas forças principais agindo sobre ele:
- A força da gravidade (
) que puxa o menino para baixo. - A força normal (
) que o gelo exerce no menino, perpendicular à superfície do iglu.
Quando o menino está deslizando, ele está em movimento circular, então precisa de uma força centrípeta para manter esse movimento. A força centrípeta (
) é fornecida pela componente da força normal e da força da gravidade que apontam para o centro do iglu.
Passo 4
A condição para o menino perder o contato com o gelo é quando a força normal
se torna zero. Nesse ponto, toda a força centrípeta será fornecida apenas pela componente da força da gravidade. A equação fica assim:
Aqui,
é o ângulo entre a vertical e a posição do menino no iglu,
é a velocidade do menino naquele ponto, e
é o raio do iglu.
Passo 5
Vamos usar a conservação de energia para relacionar a velocidade
com a altura
. No início, o menino está no topo do iglu com energia potencial máxima e velocidade zero. Quando ele desce até o ponto onde perde o contato, parte dessa energia potencial se transforma em energia cinética.
A energia inicial é:
A energia no ponto qualquer é:
Pelas leis de conservação de energia:
Passo 6
Vamos simplificar a equação da conservação de energia para encontrar
:
Passo 7
Agora, substituímos
na equação da força centrípeta:
Os termos
e
se cancelam:
Passo 8
Agora que encontramos
, podemos relacionar isso com a altura
. A altura
é a distância vertical do menino ao chão, que pode ser expressa como:
Substituindo
:
Resposta
O menino perde contato com o gelo a uma altura de 1 metro acima do chão.