Um metalúrgico decide testar a pureza de um certo metal, que supõe ser constituído exclusivamente de manganês. Adota para isso o critério da verificação do ponto de fusão. Experiências anteriores mostraram que esse ponto de fusão se distribuía normalmente com média de
e desvio padrão de
. O metalúrgico realizou 4 experiências, obtendo
e
. Poderá ele aceitar que o metal é puro ao nível de
?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão nos pede. Um metalúrgico quer verificar se um metal é puro, ou seja, se é composto exclusivamente de manganês. Para isso, ele usa o ponto de fusão como critério de pureza. Sabemos que o ponto de fusão desse metal, em experimentos anteriores, se distribui normalmente com média de
e desvio padrão de
. Ele fez 4 novas experiências e obteve os valores
,
,
e
. Queremos saber se, com base nesses resultados, ele pode aceitar que o metal é puro ao nível de confiança de
. Para resolver isso, vamos usar a Estatística de Teste para verificar se as médias observadas diferem significativamente da média esperada.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a média das 4 experiências realizadas pelo metalúrgico. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações.
Vamos calcular isso:
Então, a média das experiências é
.
Passo 3
Agora, vamos formular as hipóteses para o teste estatístico. Temos:
- Hipótese Nula (
): O metal é puro, ou seja, a média do ponto de fusão é . - Hipótese Alternativa (
): O metal não é puro, ou seja, a média do ponto de fusão é diferente de .
Passo 4
Como conhecemos o desvio padrão populacional (
) e temos um tamanho de amostra pequeno (
), vamos usar o teste Z para a média. A fórmula do teste Z é:
Onde:
-
é a média da amostra, -
é a média hipotética, -
é o desvio padrão, -
é o tamanho da amostra.
Passo 5
Vamos substituir os valores na fórmula:
Então, o valor de Z calculado é 5.
Passo 6
Agora, precisamos determinar o valor crítico para o teste ao nível de
. Como é um teste bilateral (diferente), dividimos o nível de significância por 2 para cada cauda. O valor crítico para
em
de cada lado é aproximadamente
.
Passo 7
Comparamos o valor calculado de Z com o valor crítico:
Como
é maior que
, rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
O metalúrgico não pode aceitar que o metal seja puro ao nível de
, pois os resultados obtidos indicam que a média do ponto de fusão difere significativamente da esperada para um metal puro.