Um metalúrgico decide testar a pureza de um certo metal, que supõe ser constituído exclusivamente de manganês. Adota para isso o critério da verificação do ponto de fusão. Experiências anteriores mostraram que esse ponto de fusão se distribuía normalmente com média de 1.260^circ e desvio padrão de 2^circ. O metalúrgico realizou 4 experiências, obtendo 1.267^circ, 1.269^circ, 1.261^circ e 1.263^circ. Poderá ele aceitar que o metal é puro ao nível de 5 % ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão nos pede. Um metalúrgico quer verificar se um metal é puro, ou seja, se é composto exclusivamente de manganês. Para isso, ele usa o ponto de fusão como critério de pureza. Sabemos que o ponto de fusão desse metal, em experimentos anteriores, se distribui normalmente com média de 1260^circ e desvio padrão de 2^circ. Ele fez 4 novas experiências e obteve os valores 1267^circ, 1269^circ, 1261^circ e 1263^circ. Queremos saber se, com base nesses resultados, ele pode aceitar que o metal é puro ao nível de confiança de 5%. Para resolver isso, vamos usar a Estatística de Teste para verificar se as médias observadas diferem significativamente da média esperada.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a média das 4 experiências realizadas pelo metalúrgico. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações.
barx = 1267 + 1269 + 1261 + 12634
Vamos calcular isso:
barx = 1267 + 1269 + 1261 + 12634 = 50604 = 1265
Então, a média das experiências é 1265^circ.

Passo 3

Agora, vamos formular as hipóteses para o teste estatístico. Temos:
  • Hipótese Nula ( H0): O metal é puro, ou seja, a média do ponto de fusão é 1260^circ.
  • Hipótese Alternativa ( H1): O metal não é puro, ou seja, a média do ponto de fusão é diferente de 1260^circ.

Passo 4

Como conhecemos o desvio padrão populacional ( sigma = 2^circ) e temos um tamanho de amostra pequeno ( n=4), vamos usar o teste Z para a média. A fórmula do teste Z é:
Z = barx - musigmaraizn
Onde:
  • barx é a média da amostra,
  • mu é a média hipotética,
  • sigma é o desvio padrão,
  • n é o tamanho da amostra.

Passo 5

Vamos substituir os valores na fórmula:
Z = 1265 - 12602raiz4 = 522 = 51 = 5
Então, o valor de Z calculado é 5.

Passo 6

Agora, precisamos determinar o valor crítico para o teste ao nível de 5%. Como é um teste bilateral (diferente), dividimos o nível de significância por 2 para cada cauda. O valor crítico para Z em 2,5% de cada lado é aproximadamente 1,96.

Passo 7

Comparamos o valor calculado de Z com o valor crítico:
|Z| = 5 > 1,96
Como 5 é maior que 1,96, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

O metalúrgico não pode aceitar que o metal seja puro ao nível de 5%, pois os resultados obtidos indicam que a média do ponto de fusão difere significativamente da esperada para um metal puro.

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