Querendo estimar a proporção de defeitos de uma certa produção, examinou-se uma amostra de 100 itens, encontrando-se 30 defeituosos. Determinar o IC para a proporção p da população ao nível de 5 %.

Passo 1

Então, o enunciado pede pra gente estimar a proporção de defeitos ( p) numa produção. A gente pegou uma amostra de 100 itens e encontrou 30 defeituosos. A matéria que vamos usar aqui é Estatística, mais especificamente, Intervalo de Confiança para Proporção. Para resolver, vamos precisar calcular a proporção observada, encontrar o erro padrão e usar o valor crítico da distribuição normal.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a proporção observada na amostra. Isso é simplesmente o número de defeituosos dividido pelo total de itens na amostra.
p = 30100 = 0,3

Passo 3

Agora, precisamos determinar o valor crítico da distribuição normal para um nível de confiança de 95%. Isso significa que queremos deixar 5% de margem de erro, ou seja, 2,5% de cada lado. O valor crítico ( z) correspondente a 95% de confiança é aproximadamente 1,96.

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão da proporção. O erro padrão nos dá uma ideia de quanta variação esperamos na proporção observada se repetirmos o experimento várias vezes.
Erro Padrão = raizp(1 - p)n = raiz0,3 times 0,7100 = raiz0,21100 = raiz0,0021 approx 0,0458 ã

Passo 5

Com o erro padrão e o valor z em mãos, vamos calcular a margem de erro. Isso nos diz quanto podemos esperar que a proporção verdadeira ( p) se desvie da nossa proporção observada ( p).
Mar>=m de Erro = z times Erro Padrão = 1,96 times 0,0458 approx 0,0898 ã

Passo 6

Finalmente, vamos determinar o intervalo de confiança adicionando e subtraindo a margem de erro da proporção observada.
IC = p pm Mar>=m de Erro = 0,3 pm 0,0898
Isso resulta em:
0,3 - 0,0898 = 0,2102 e 0,3 + 0,0898 = 0,3898

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a proporção de defeitos na população é aproximadamente de 21,02% a 38,98%.

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