Um método enzimático para a determinação de álcool em vinho é avaliado pela comparação com o método de cromatografia gasosa (CG). A mesma amostra é analisada várias vezes por ambos os métodos com os seguintes resultados (% de etanol): método enzimático: 13,1; 12,7; 12,6; 13,3 e 13,3; método CG 13,5; 13,3; 13,0 e 12,9. Existe uma diferença significativa na precisão dos dois métodos ao nível de 95% de confiança?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem aqui um problema de estatística que compara dois métodos para medir a quantidade de álcool no vinho: o método enzimático e a cromatografia gasosa (CG). Recebemos várias medidas de cada método e queremos saber se a precisão desses métodos é significativamente diferente com 95% de confiança. Para isso, vamos precisar calcular a variabilidade das medições de cada método e comparar essas variabilidades usando um teste estatístico apropriado.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
  • Método Enzimático: 13,1; 12,7; 12,6; 13,3; 13,3
  • Método CG: 13,5; 13,3; 13,0; 12,9
A precisão está relacionada à variabilidade das medidas. Quanto menor a variabilidade, maior a precisão. Para comparar a precisão dos dois métodos, vamos calcular a variância de cada conjunto de dados.

Passo 3

Vamos calcular a média e a variância de cada método. A variância nos dá uma ideia de quão espalhados estão os dados.
Para o Método Enzimático:
  • Média ( barX1) = (13,1 + 12,7 + 12,6 + 13,3 + 13,3) / 5 = 12,9
  • Variância ( S1^2) = [(13,1 - 12,9)² + (12,7 - 12,9)² + … + (13,3 - 12,9)²] / (5 - 1)
Para o Método CG:
  • Média ( barX2) = (13,5 + 13,3 + 13,0 + 12,9) / 4 = 13,175
  • Variância ( S2^2) = [(13,5 - 13,175)² + (13,3 - 13,175)² + … + (12,9 - 13,175)²] / (4 - 1)
Vamos calcular esses valores:
Método Enzimático:
S1^2 = (13,1-12,9)^2 + (12,7-12,9)^2 + (12,6-12,9)^2 + (13,3-12,9)^2 + (13,3-12,9)^24
S1^2 = (0,2)^2 + (-0,2)^2 + (-0,3)^2 + (0,4)^2 + (0,4)^24 = 0,04 + 0,04 + 0,09 + 0,16 + 0,164 = 0,494 = 0,1225
Método CG:
S2^2 = (13,5-13,175)^2 + (13,3-13,175)^2 + (13,0-13,175)^2 + (12,9-13,175)^23
S2^2 = (0,325)^2 + (0,125)^2 + (-0,175)^2 + (-0,275)^23 = 0,1056 + 0,0156 + 0,0306 + 0,07563 = 0,22743 approx 0,0758

Passo 4

Agora que temos as variâncias dos dois métodos, vamos comparar elas para ver se há uma diferença significativa na precisão. Para isso, usamos o Teste F, que compara duas variâncias.
As hipóteses do teste são:
  • Hipótese Nula ( H0): As variâncias dos dois métodos são iguais ( sigma1^2 = sigma2^2).
  • Hipótese Alternativa ( Ha): As variâncias são diferentes ( sigma1^2 neq sigma2^2).
Vamos calcular o valor de F usando a fórmula:
F = S1^2S2^2
Onde S1^2 é a maior variância para ter o valor de F maior que 1.

Passo 5

Calculando o valor de F:
F = 0,12250,0758 approx 1,616
Agora, precisamos encontrar o valor crítico de F para um nível de confiança de 95%. Os graus de liberdade são:
  • df1 = n1 - 1 = 5 - 1 = 4
  • df2 = n2 - 1 = 4 - 1 = 3
Consultando uma tabela de distribuição F ou usando uma calculadora estatística, encontramos o valor crítico de F para df1 = 4 e df2 = 3 a 95% de confiança. Supondo que seja aproximadamente 9,60.

Passo 6

Comparando nosso valor de F calculado com o valor crítico:
1,616 < 9,60
Como o valor de F calculado é menor que o valor crítico, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Não há diferença significativa na precisão entre o método enzimático e a cromatografia gasosa ao nível de confiança de 95%.

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