Construa o gráfico do elipsoide dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
© x^2/64 + y^2/100 + z^2/25 = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa construir o gráfico de um elipsoide a partir da equação dada e analisar seus traços. Um elipsoide é uma figura tridimensional que parece uma esfera alongada em diferentes direções. Para isso, vamos precisar entender a equação do elipsoide e identificar seus principais componentes.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação do elipsoide que foi fornecida:
Aqui, cada termo ao quadrado dividido por um número representa as dimensões do elipsoide ao longo de cada eixo (x, y e z).

Passo 3

Vamos identificar os raios do elipsoide em cada direção. No caso geral da equação de um elipsoide:
a, b e c são os raios ao longo dos eixos x, y e z, respectivamente. Comparando com a nossa equação:
Então, os raios são:
  • Eixo x: 8 unidades
  • Eixo y: 10 unidades
  • Eixo z: 5 unidades

Passo 4

Com esses raios, podemos determinar os pontos onde o elipsoide intercepta cada eixo:
  • Eixo x: Quando y = 0 e z = 0,
  • Eixo y: Quando x = 0 e z = 0,
  • Eixo z: Quando x = 0 e y = 0,
Então, os pontos de interceptação são:
  • (8, 0, 0) e (-8, 0, 0)
  • (0, 10, 0) e (0, -10, 0)
  • (0, 0, 5) e (0, 0, -5)

Passo 5

Agora, vamos estudar os traços do elipsoide nos planos principais:
  • Traço no plano xy (z = 0):
    Esse é um elipse com raios 8 e 10 nos eixos x e y.
  • Traço no plano xz (y = 0):
    Esse é um elipse com raios 8 e 5 nos eixos x e z.
  • Traço no plano yz (x = 0):
    Esse é um elipse com raios 10 e 5 nos eixos y e z.

Passo 6

Com todas essas informações, podemos esboçar o elipsoide:
  1. Desenhe os três eixos: x, y e z.
  2. Marque os pontos de interceptação nos eixos:
    • (8, 0, 0) e (-8, 0, 0)
    • (0, 10, 0) e (0, -10, 0)
    • (0, 0, 5) e (0, 0, -5)
  3. Desenhe os tra��os elípticos nos três planos:
    • No plano xy, um elipse maior.
    • No plano xz, um elipse mais estreito.
    • No plano yz, outro elipse estreito.
  4. Conecte os traços suavemente para formar a superfície do elipsoide.

Resposta

O elipsoide tem centros nos eixos com raios de 8 unidades no eixo x, 10 no eixo y e 5 no eixo z. Seus traços nos planos xy, xz e yz são elipses com essas dimensões específicas, formando um elipsoide alongado principalmente ao longo do eixo y. A representação gráfica reflete essas características, mostrando uma figura tridimensional simétrica com as medidas indicadas.

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