Construa o gráfico do elipsoide dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa construir o gráfico de um elipsoide a partir da equação dada e analisar seus traços. Um elipsoide é uma figura tridimensional que parece uma esfera alongada em diferentes direções. Para isso, vamos precisar entender a equação do elipsoide e identificar seus principais componentes.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a equação do elipsoide que foi fornecida:
Aqui, cada termo ao quadrado dividido por um número representa as dimensões do elipsoide ao longo de cada eixo (x, y e z).
Passo 3
Vamos identificar os raios do elipsoide em cada direção. No caso geral da equação de um elipsoide:
a, b e c são os raios ao longo dos eixos x, y e z, respectivamente. Comparando com a nossa equação:
Então, os raios são:
- Eixo x: 8 unidades
- Eixo y: 10 unidades
- Eixo z: 5 unidades
Passo 4
Com esses raios, podemos determinar os pontos onde o elipsoide intercepta cada eixo:
-
Eixo x: Quando y = 0 e z = 0,
-
Eixo y: Quando x = 0 e z = 0,
-
Eixo z: Quando x = 0 e y = 0,
Então, os pontos de interceptação são:
- (8, 0, 0) e (-8, 0, 0)
- (0, 10, 0) e (0, -10, 0)
- (0, 0, 5) e (0, 0, -5)
Passo 5
Agora, vamos estudar os traços do elipsoide nos planos principais:
-
Traço no plano xy (z = 0):Esse é um elipse com raios 8 e 10 nos eixos x e y.
-
Traço no plano xz (y = 0):Esse é um elipse com raios 8 e 5 nos eixos x e z.
-
Traço no plano yz (x = 0):Esse é um elipse com raios 10 e 5 nos eixos y e z.
Passo 6
Com todas essas informações, podemos esboçar o elipsoide:
- Desenhe os três eixos: x, y e z.
- Marque os pontos de interceptação nos eixos:
- (8, 0, 0) e (-8, 0, 0)
- (0, 10, 0) e (0, -10, 0)
- (0, 0, 5) e (0, 0, -5)
- Desenhe os tra��os elípticos nos três planos:
- No plano xy, um elipse maior.
- No plano xz, um elipse mais estreito.
- No plano yz, outro elipse estreito.
- Conecte os traços suavemente para formar a superfície do elipsoide.
Resposta
O elipsoide tem centros nos eixos com raios de 8 unidades no eixo x, 10 no eixo y e 5 no eixo z. Seus traços nos planos xy, xz e yz são elipses com essas dimensões específicas, formando um elipsoide alongado principalmente ao longo do eixo y. A representação gráfica reflete essas características, mostrando uma figura tridimensional simétrica com as medidas indicadas.
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em que
e
é o tetraedro sólido com vértices
,
e
O Método de Newton tem como objetivo o de determinar numericamente soluções para a equação
. Ou seja,
é um zero de
a ser encontrado. É necessário supor que
seja uma função derivável no intervalo de busca
que contém
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escolhido arbitrariamente. Além disso, também é necessário que a
. O método, explicado em aula, consiste em gerar uma sequência
, inciando em
que converge para
através da fórmula:
28) .
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Dado que
é uma solução explícita da equação
, qual dos itens apresenta o maior intervalo de definição possível para esta solução? justifique sua escolha.
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Resolva a equação diferencial dada através de uma série de potências em torno do ponto ordinário
dado.
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