Um modelo eletrostático simples para o átomo de Hidrogênio consiste em tratarmos o próton como uma carga puntiforme +e posicionada na origem de um sistema de coordenadas e o elétron como uma esfera maciça de raio a0 (o raio de Bohr), centrada na origem e uniformemente carregada com uma carga -e, representando a nuvem eletrônica. Calcule a intensidade do campo em um ponto a uma distância r=a0 / 2 da origem, sabendo que a0= 0.53 times 10^-10 m, k0=9.0 times 10^9 N m^2 / C^2 e e=1.6 times 10^-19 C.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede e identificar o conteúdo que vamos utilizar. Temos um modelo simplificado do átomo de Hidrogênio onde:
  • O próton é uma carga pontual na origem.
  • O elétron é uma esfera de raio (raio de Bohr) com carga total distribuída uniformemente.
Queremos calcular a intensidade do campo elétrico em um ponto a uma distância da origem. Para resolver isso, vamos utilizar a lei de Coulomb e a lei de Gauss para campos elétricos em distribuições de carga simétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o campo elétrico devido ao próton. Como o próton é uma carga pontual, podemos usar a lei de Coulomb diretamente:
Epróton = k0 er^2 ó
Onde:

Passo 3

Agora, vamos calcular o campo elétrico devido ao elétron, que é uma esfera carregada uniformemente. Para uma distribuição de carga uniforme, o campo dentro da esfera a uma distância Eelétron = k0 Qencr^2 do centro é dado por:
Qenc = -e ( r^3a0^3 ) é
Onde Eelétron = k0 -e ( r^3a0^3 )r^2 = -k0 e cdot ra0^3 é a carga encerrada dentro de uma esfera de raio . Como a carga está distribuída uniformemente, temos:
Substituindo na expressão do campo elétrico:
é

Passo 4

Vamos agora somar os campos elétricos devido ao próton e ao elétron para obter o campo total no ponto a Etotal = Epróton + Eelétron :
Etotal = k0 er^2 - k0 e cdot ra0^3 óé
Substituindo as expressões encontradas:

Passo 5

Substituindo os valores numéricos:
r = a02 = 0.265 times 10^-10 , m
Etotal = 9.0 times 10^9 , N cdot m^2C^2 cdot 1.6 times 10^-19 , C(0.265 times 10^-10 , m)^2 - 9.0 times 10^9 , N cdot m^2C^2 cdot 1.6 times 10^-19 , C cdot 0.265 times 10^-10 , m(0.53 times 10^-10 , m)^3

Passo 6

Calculando cada termo separadamente:
Epróton = 9.0 times 10^9 cdot 1.6 times 10^-19(0.265 times 10^-10)^2 = 9.0 times 10^9 cdot 1.6 times 10^-197.0225 times 10^-21 approx 2.05 times 10^11 , N/C ó
Eelétron = -9.0 times 10^9 cdot 1.6 times 10^-19 cdot 0.265 times 10^-101.4849 times 10^-31 approx -3.22 times 10^11 , N/C é

Resposta

A intensidade do campo elétrico no ponto a uma distância da origem é aproximadamente . O sinal negativo indica que a direção do campo é para o centro, isto é, na direção oposta à do próton.

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