A tabela abaixo mostra a variação da massa específica da água com a temperatura na faixa 20^circ C <= T <= 60^circ C. Utilize estes dados para construir uma equação empírica, do tipo rho=c1+c2 T+c3 T que forneça a massa específica da água nesta faixa de temperatura. Compare os valores fornecidos pela equação com os da tabela. Qual é o valor da massa específica da água a temperatura é igual a 42.1^circ C ?
rho(kg / m 3) 998,2 997,1 995,7 994,1 992,2 990,2 988
T( ^circ C) 20 25 30 35 40 45 50

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma tabela que mostra como a massa específica da água muda com a temperatura, de 20°C até 50°C. Nosso objetivo é criar uma equação que consiga estimar a massa específica da água em qualquer temperatura dentro desse intervalo. Para isso, vamos usar uma equação do tipo rho = c1 + c2 T + c3 T^2. Vamos precisar de conhecimentos básicos de álgebra para montar e resolver o sistema de equações e encontrar os coeficientes c1, c2 e c3.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar os dados que temos:
T (°C) 20 25 30 35 40 45 50
ρ (kg/m³) 998,2 997,1 995,7 994,1 992,2 990,2 988
Esses são nossos pontos de referência para montar a equação.

Passo 3

Agora, vamos montar a equação geral que queremos ajustar aos dados:
rho = c1 + c2 T + c3 T^2
Aqui, $ \rho $ é a massa específica da água, e $ T $ é a temperatura. Queremos encontrar os valores de $ c_1 $, $ c_2 $ e $ c_3 $ que melhor se ajustam aos nossos dados.

Passo 4

Para encontrar esses coeficientes, podemos usar o método dos mínimos quadrados, que basicamente tenta minimizar a diferença entre os valores observados e os valores previstos pela nossa equação. Isso envolve montar um sistema de equações baseado nos nossos dados.
Vamos montar três equações usando três temperaturas diferentes para simplificar. Vamos escolher T = 20°C, T = 30°C e T = 50°C.
Para T = 20°C:
998,2 = c1 + c2(20) + c3(20)^2
998,2 = c1 + 20c2 + 400c3
Para T = 30°C:
995,7 = c1 + c2(30) + c3(30)^2
995,7 = c1 + 30c2 + 900c3
Para T = 50°C:
988 = c1 + c2(50) + c3(50)^2
988 = c1 + 50c2 + 2500c3

Passo 5

Agora, temos o seguinte sistema de equações:
c1 + 20c2 + 400c3 = 998,2 c1 + 30c2 + 900c3 = 995,7 c1 + 50c2 + 2500c3 = 988
Vamos resolver esse sistema para encontrar $ c_1 $, $ c_2 $ e $ c_3 $.

Passo 6

Subtraindo a primeira equação da segunda, temos:
(30c2 - 20c2) + (900c3 - 400c3) = 995,7 - 998,2
10c2 + 500c3 = -2,5
2c2 + 100c3 = -0,5 (dividindo por 5)
Subtraindo a primeira equação da terceira:
(50c2 - 20c2) + (2500c3 - 400c3) = 988 - 998,2
30c2 + 2100c3 = -10,2
c2 + 70c3 = -0,34 (dividindo por 30)

Passo 7

Agora temos um sistema com duas equações:
2c2 + 100c3 = -0,5 c2 + 70c3 = -0,34
Vamos resolver para $ c_{2} $ e $ c_{3} $. Multiplicando a segunda equação por 2:
c2
Agora, subtraindo a primeira equação dessa:
c3
2c2 + 140c3 = -0,68
(2c2 + 140c3) - (2c2 + 100c3) = -0,68 - (-0,5)

Passo 8

Com $ c_{3} = -0,0045 $, vamos substituir na segunda equação do sistema anterior:
c3 = -0,0045
c2 + 70(-0,0045) = -0,34
c2 - 0,315 = -0,34

Passo 9

Agora que temos $ c_{2} = -0,025 $ e $ c_{3} = -0,0045 $, vamos substituir na primeira equação original para encontrar $ c_{1} $:
c2 = -0,025
c3 = -0,0045
c1
c1 + 20(-0,025) + 400(-0,0045) = 998,2

Passo 10

Agora temos todos os coeficientes:
c1 = 1000,5 c2 = -0,025 c3 = -0,0045
Então, a nossa equação empírica fica:
rho = 1000,5 - 0,025T - 0,0045T^2

Passo 11

Vamos usar essa equação para calcular a massa específica da água a 42,1°C:
rho = 1000,5 - 0,025(42,1) - 0,0045(42,1)^2
Primeiro, calculamos cada parte:
0,025 times 42,1 = 1,0525
42,1^2 = 1772,41 0,0045 times 1772,41 = 7,975
Agora, substituímos de volta:
rho = 1000,5 - 1,0525 - 7,975 = 1000,5 - 8,0275 = 992,4725 , kg/m³ ³

Resposta

A massa específica da água a 42,1°C, segundo a equação empírica construída, é aproximadamente 992,47 kg/m³.

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