A tabela abaixo mostra a variação da massa específica da água com a temperatura na faixa
. Utilize estes dados para construir uma equação empírica, do tipo
que forneça a massa específica da água nesta faixa de temperatura. Compare os valores fornecidos pela equação com os da tabela. Qual é o valor da massa específica da água a temperatura é igual a
?
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998,2 | 997,1 | 995,7 | 994,1 | 992,2 | 990,2 | 988 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
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20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma tabela que mostra como a massa específica da água muda com a temperatura, de 20°C até 50°C. Nosso objetivo é criar uma equação que consiga estimar a massa específica da água em qualquer temperatura dentro desse intervalo. Para isso, vamos usar uma equação do tipo
. Vamos precisar de conhecimentos básicos de álgebra para montar e resolver o sistema de equações e encontrar os coeficientes
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar os dados que temos:
T (°C) | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
ρ (kg/m³) | 998,2 | 997,1 | 995,7 | 994,1 | 992,2 | 990,2 | 988 |
Esses são nossos pontos de referência para montar a equação.
Passo 3
Agora, vamos montar a equação geral que queremos ajustar aos dados:
Aqui, $ \rho $ é a massa específica da água, e $ T $ é a temperatura. Queremos encontrar os valores de $ c_1 $, $ c_2 $ e $ c_3 $ que melhor se ajustam aos nossos dados.
Passo 4
Para encontrar esses coeficientes, podemos usar o método dos mínimos quadrados, que basicamente tenta minimizar a diferença entre os valores observados e os valores previstos pela nossa equação. Isso envolve montar um sistema de equações baseado nos nossos dados.
Vamos montar três equações usando três temperaturas diferentes para simplificar. Vamos escolher T = 20°C, T = 30°C e T = 50°C.
Para T = 20°C:
Para T = 30°C:
Para T = 50°C:
Passo 5
Agora, temos o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar $ c_1 $, $ c_2 $ e $ c_3 $.
Passo 6
Subtraindo a primeira equação da segunda, temos:
Subtraindo a primeira equação da terceira:
Passo 7
Agora temos um sistema com duas equações:
Vamos resolver para $ c_{2} $ e $ c_{3} $. Multiplicando a segunda equação por 2:
Agora, subtraindo a primeira equação dessa:
Passo 8
Com $ c_{3} = -0,0045 $, vamos substituir na segunda equação do sistema anterior:
Passo 9
Agora que temos $ c_{2} = -0,025 $ e $ c_{3} = -0,0045 $, vamos substituir na primeira equação original para encontrar $ c_{1} $:
Passo 10
Agora temos todos os coeficientes:
Então, a nossa equação empírica fica:
Passo 11
Vamos usar essa equação para calcular a massa específica da água a 42,1°C:
Primeiro, calculamos cada parte:
Agora, substituímos de volta:
Resposta
A massa específica da água a 42,1°C, segundo a equação empírica construída, é aproximadamente 992,47 kg/m³.