Um modelo matemático de um sistema de rede pode ser expresso por:
l x1+2 x2+3 x3=100 2 x1+x2+2 x3=80 3 x1+4 x2+x3=120
Resolva o sistema e interprete os resultados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um sistema de equações lineares com três variáveis: , e . A matéria que vamos usar aqui é Álgebra Linear, especificamente a resolução de sistemas de equações pelo método da substituição ou eliminação. Precisaremos organizar as equações para encontrar os valores das incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever novamente o sistema para facilitar:
x1 + 2x2 + 3x3 = 100 (Equação 1) 2x1 + x2 + 2x3 = 80 (Equação 2) 3x1 + 4x2 + x3 = 120 (Equação 3) çãçãçã
Nosso objetivo é achar valores para , e que satisfaçam todas as três equações simultaneamente.

Passo 3

Vamos começar eliminando uma variável para simplificar. Vou optar por eliminar 2x1 + 4x2 + 6x3 = 200 (Equação 1 mu usando as Equações 1 e 2. Para isso, multiplico a Equação 1 por 2:
(2x1 + 4x2 + 6x3) - (2x1 + x2 + 2x3) = 200 - 80 çã
Agora, subtraio a Equação 2 dessa nova equação:
3x2 + 4x3 = 120 (Equação 4)
Simplificando:
çã

Passo 4

Agora, eliminamos 3x1 + 6x2 + 9x3 = 300 (Equação 1 mu usando as Equações 1 e 3. Multiplico a Equação 1 por 3:
(3x1 + 6x2 + 9x3) - (3x1 + 4x2 + x3) = 300 - 120 çã
Subtraio a Equação 3:
2x2 + 8x3 = 180 (Equação 5)
Simplificando:
çã

Passo 5

Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
3x2 + 4x3 = 120 (Equação 4) 2x2 + 8x3 = 180 (Equação 5) çãçã
Vamos eliminar uma das variáveis. Vou eliminar 6x2 + 8x3 = 240 (Equação 4 mu. Para isso, multiplico a Equação 4 por 2 e a Equação 5 por 3:
(6x2 + 24x3) - (6x2 + 8x3) = 540 - 240 çãçã
Subtraio a primeira da segunda:
16x3 = 300 x3 = 30016 = 18,75
Simplificando:

Passo 6

Agora que temos 3x2 + 4(18,75) = 120 3x2 + 75 = 120 3x2 = 45 x2 = 15 , vamos substituir esse valor na Equação 4 para encontrar :

Passo 7

Com x1 + 2(15) + 3(18,75) = 100 x1 + 30 + 56,25 = 100 x1 + 86,25 = 100 x1 = 100 - 86,25 x1 = 13,75 e , substituímos esses valores na Equação 1 para encontrar :

Resposta

A solução do sistema é:
x1 = 13,75 x2 = 15 x3 = 18,75
Isso significa que, para que todas as três equações sejam satisfeitas simultaneamente, os valores das variáveis devem ser , e .

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