Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
(a) Todo sistema linear tem uma única solução.
(b) Um pivô em uma matriz é sempre igual a 1.
(c) Variáveis livres são aquelas que podem ser expressas em função das variáveis básicas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede pra dizer se algumas afirmações sobre sistemas lineares e matrizes são verdadeiras ou falsas. A matéria aqui é Álgebra Linear, e vamos precisar entender conceitos como **sistema linear**, **pivô**, **matriz**, **variáveis livres** e **variáveis básicas** para resolver cada parte.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a afirmação (a): **"Todo sistema linear tem uma única solução."**
Então, o que é um sistema linear? É basicamente um conjunto de equações que a gente tenta resolver juntas. Agora, nem todo sistema linear tem uma única solução. Pode ter **nenhuma solução** (quando as equações são inconsistentes) ou **infinitas soluções** (quando as equações dependem umas das outras).
Então, essa afirmação diz que sempre tem uma única solução, o que não é verdade. Existem casos com nenhuma solução ou muitas soluções.
Passo 3
Agora, a afirmação (b): **"Um pivô em uma matriz é sempre igual a 1."**
Primeiro, o que é um pivô? Em álgebra linear, ao fazer a **eliminação de Gauss** para resolver sistemas, os pivôs são os elementos que usamos para zerar os outros valores nas colunas. Eles são os primeiros números não nulos em cada linha de uma matriz escalonada.
Embora seja uma boa prática transformar os pivôs em 1 para simplificar os cálculos, **os pivôs não precisam ser sempre 1**. Você pode ter pivôs diferentes de 1 dependendo de como você realiza as operações na matriz.
Passo 4
Por último, a afirmação (c): **"Variáveis livres são aquelas que podem ser expressas em função das variáveis básicas."**
Aqui, temos termos **variáveis livres** e **variáveis básicas**. Em um sistema linear, as variáveis básicas são aquelas que são determinadas diretamente pelas equações, enquanto as variáveis livres não são determinadas pelas equações e podem assumir qualquer valor.
Na verdade, são as **variáveis básicas** que podem ser expressas em função das **variáveis livres**, não o contrário. As variáveis livres são "livres" para escolher valores, e as básicas dependem dessas escolhas.