Num modelo simples do paramagnetismo, podemos considerar que uma certa fração
das moléculas tem os momentos magnéticos alinhados com o campo magnético externo e que o restante das moléculas tem os momentos com orientação ao acaso, e não contribui para o campo magnético. (a) Usar este modelo, e a lei de Curie, para mostrar que na temperatura
e no campo magnético
, a fração de moléculas alinhadas é
. (b) Calcular esta fração em
, admitindo seja
igual a 1 magnéton de Bohr.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um modelo simples de paramagnetismo onde uma certa fração
das moléculas está alinhada com um campo magnético externo
, e o restante está desordenado, sem contribuir para o campo. A parte (a) quer que a gente use esse modelo junto com a lei de Curie para mostrar que
. A parte (b) pede para calcular essa fração para
e
, considerando que
é igual a um magnéton de Bohr. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a lei de Curie, como ela se aplica ao paramagnetismo e como relacionar a fração alinhada
com esses conceitos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a lei de Curie descreve como a magnetização
de um material paramagnético depende da temperatura
e do campo magnético externo
. A lei é dada por:
onde
é a constante de Curie.
No nosso modelo, apenas uma fração
das moléculas está alinhada com o campo. Cada molécula alinhada contribui com um momento magnético
, então a magnetização total
pode ser expressa como:
onde
é o número total de moléculas.
Comparando as duas expressões para
, temos:
Agora, vamos relacionar a constante de Curie
com as grandezas do nosso sistema. A constante de Curie para um sistema de momentos magnéticos simples é:
onde
é a permeabilidade do vácuo e
é a constante de Boltzmann.
Substituindo
na equação anterior:
Simplificando
dos dois lados:
Agora, dividindo ambos os lados por
:
Assumindo que estamos trabalhando em unidades onde
(ou incorporando
nas unidades de
), podemos simplificar para:
Passo 3
Agora, para a parte (b), precisamos calcular essa fração
com os valores dados:
,
, e
igual a um magnéton de Bohr. O magnéton de Bohr tem um valor conhecido de:
E a constante de Boltzmann é:
Substituindo esses valores na expressão de
:
Calculando o denominador:
Então:
Resposta
(a) Mostramos que a fração de moléculas alinhadas é
.
(b) Para e
, a fração
é aproximadamente
.
(b) Para
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