Num modelo simples do paramagnetismo, podemos considerar que uma certa fração f das moléculas tem os momentos magnéticos alinhados com o campo magnético externo e que o restante das moléculas tem os momentos com orientação ao acaso, e não contribui para o campo magnético. (a) Usar este modelo, e a lei de Curie, para mostrar que na temperatura T e no campo magnético B, a fração de moléculas alinhadas é f=m B / 3 k T. (b) Calcular esta fração em T=300 K, B=1 T, admitindo seja m igual a 1 magnéton de Bohr.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um modelo simples de paramagnetismo onde uma certa fração das moléculas está alinhada com um campo magnético externo , e o restante está desordenado, sem contribuir para o campo. A parte (a) quer que a gente use esse modelo junto com a lei de Curie para mostrar que . A parte (b) pede para calcular essa fração para e , considerando que é igual a um magnéton de Bohr. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a lei de Curie, como ela se aplica ao paramagnetismo e como relacionar a fração alinhada com esses conceitos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a lei de Curie descreve como a magnetização M = C BT de um material paramagnético depende da temperatura M = f cdot N cdot m e do campo magnético externo f cdot N cdot m = C BT . A lei é dada por:
C = N mu0 m^23 k
onde f cdot N cdot m = N mu0 m^23 k cdot BT é a constante de Curie.
No nosso modelo, apenas uma fração f cdot m = mu0 m^2 B3 k T das moléculas está alinhada com o campo. Cada molécula alinhada contribui com um momento magnético f = mu0 m B3 k T , então a magnetização total f = m B3 k T pode ser expressa como:
onde é o número total de moléculas.
Comparando as duas expressões para , temos:
Agora, vamos relacionar a constante de Curie com as grandezas do nosso sistema. A constante de Curie para um sistema de momentos magnéticos simples é:
onde é a permeabilidade do vácuo e é a constante de Boltzmann.
Substituindo na equação anterior:
Simplificando dos dois lados:
Agora, dividindo ambos os lados por :
Assumindo que estamos trabalhando em unidades onde (ou incorporando nas unidades de ), podemos simplificar para:

Passo 3

Agora, para a parte (b), precisamos calcular essa fração m = muB approx 9.274 times 10^-24 , A cdot m^2 com os valores dados: k = 1.381 times 10^-23 , J/K , f = (9.274 times 10^-24 , A cdot m^2) cdot (1 , T)3 cdot (1.381 times 10^-23 , J/K) cdot (300 , K) , e 3 cdot (1.381 times 10^-23) cdot 300 = 1.2429 times 10^-20 , J igual a um magnéton de Bohr. O magnéton de Bohr tem um valor conhecido de:
f = 9.274 times 10^-241.2429 times 10^-20 approx 7.46 times 10^-4
E a constante de Boltzmann é:
Substituindo esses valores na expressão de :
Calculando o denominador:
Então:

Resposta

(a) Mostramos que a fração de moléculas alinhadas é .
(b) Para e , a fração é aproximadamente .

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