Um solenóide muito comprido, de comprimento e área da seçã reta , tem espiras por unidade de comprimento e uma corrente 1 . O solenoide está cheio por um núcleo de ferro de permeabilidade relativa . (a) Achar a auto-indutância do solenóide. (b) Usar a fim-t de achar a energia no solenóide em termos do campo magnético . © Mostrar que a densidade de energia no solenóide é .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um solenóide muito comprido com certas características e pede para a gente encontrar a auto-indutância, a energia armazenada e a densidade de energia no solenóide. Vamos usar conceitos de eletromagnetismo, como indutância, campo magnético e energia em campos magnéticos. Para resolver isso, vamos precisar saber as fórmulas básicas de indutância de um solenóide, a relação entre energia e indutância, e como calcular a densidade de energia a partir do campo magnético.

Passo 2

Parte (a): Achar a auto-indutância do solenóide.
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da auto-indutância ( ) de um solenóide. A indutância depende de alguns fatores: o número de espiras ( ), a área da seção reta ( ), o comprimento do solenóide ( ) e a permeabilidade magnética do núcleo ( ).
A fórmula geral para a indutância de um solenóide é:
Aqui, é a permeabilidade magnética do núcleo, que para um material com permeabilidade relativa é:
Onde é a permeabilidade do vácuo ( ).
Como o solenóide tem espiras por unidade de comprimento, o número total de espiras é . Substituindo isso na fórmula da indutância:
Então, a auto-indutância do solenóide é:

Passo 3

Parte (b): Calcular a energia no solenóide em termos do campo magnético .
A energia armazenada em um indutor é dada pela fórmula:
Onde:
  • é a energia armazenada,
  • é a auto-indutância,
  • é a corrente que passa pelo solenóide.
Queremos expressar essa energia em termos do campo magnético . Sabemos que o campo magnético dentro de um solenóide é dado por:
Vamos resolver a equação para :
Agora, substituímos na fórmula da energia:
Substituindo a expressão de que encontramos anteriormente:
Simplificando:
Então, a energia no solenóide em termos do campo magnético é:

Passo 4

Parte ©: Mostrar que a densidade de energia no solenóide é .
A densidade de energia ( ) é a energia por unidade de volume. Primeiro, vamos encontrar o volume ( ) do solenóide:
Usando a expressão da energia que encontramos na parte (b):
Agora, a densidade de energia é:
Como , podemos escrever:
Portanto, mostramos que a densidade de energia no solenóide é:

Resposta

Finalizando, as respostas são:
(a) A auto-indutância do solenóide é .
(b) A energia no solenóide em termos do campo magnético é .
© A densidade de energia no solenóide é .

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