Um solenóide muito comprido, de comprimento
e área da seçã reta
, tem
espiras por unidade de comprimento e uma corrente 1 . O solenoide está cheio por um núcleo de ferro de permeabilidade relativa
. (a) Achar a auto-indutância do solenóide. (b) Usar
a fim-t de achar a energia no solenóide em termos do campo magnético
. © Mostrar que a densidade de energia no solenóide é
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um solenóide muito comprido com certas características e pede para a gente encontrar a auto-indutância, a energia armazenada e a densidade de energia no solenóide. Vamos usar conceitos de eletromagnetismo, como indutância, campo magnético e energia em campos magnéticos. Para resolver isso, vamos precisar saber as fórmulas básicas de indutância de um solenóide, a relação entre energia e indutância, e como calcular a densidade de energia a partir do campo magnético.
Passo 2
Parte (a): Achar a auto-indutância do solenóide.
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da auto-indutância (
) de um solenóide. A indutância depende de alguns fatores: o número de espiras (
), a área da seção reta (
), o comprimento do solenóide (
) e a permeabilidade magnética do núcleo (
).
A fórmula geral para a indutância de um solenóide é:
Aqui,
é a permeabilidade magnética do núcleo, que para um material com permeabilidade relativa
é:
Onde
é a permeabilidade do vácuo (
).
Como o solenóide tem
espiras por unidade de comprimento, o número total de espiras é
. Substituindo isso na fórmula da indutância:
Então, a auto-indutância do solenóide é:
Passo 3
Parte (b): Calcular a energia no solenóide em termos do campo magnético
.
A energia armazenada em um indutor é dada pela fórmula:
Onde:
-
é a energia armazenada, -
é a auto-indutância, -
é a corrente que passa pelo solenóide.
Queremos expressar essa energia em termos do campo magnético
. Sabemos que o campo magnético dentro de um solenóide é dado por:
Vamos resolver a equação para
:
Agora, substituímos
na fórmula da energia:
Substituindo a expressão de
que encontramos anteriormente:
Simplificando:
Então, a energia no solenóide em termos do campo magnético
é:
Passo 4
Parte ©: Mostrar que a densidade de energia no solenóide é
.
A densidade de energia (
) é a energia por unidade de volume. Primeiro, vamos encontrar o volume (
) do solenóide:
Usando a expressão da energia que encontramos na parte (b):
Agora, a densidade de energia é:
Como
, podemos escrever:
Portanto, mostramos que a densidade de energia no solenóide é:
Resposta
Finalizando, as respostas são:
(a) A auto-indutância do solenóide é
.
(b) A energia no solenóide em termos do campo magnético
é
.
© A densidade de energia no solenóide é
.