Um solenóide muito comprido, de comprimento ell e área da seçã reta A, tem n espiras por unidade de comprimento e uma corrente 1 . O solenoide está cheio por um núcleo de ferro de permeabilidade relativa Km. (a) Achar a auto-indutância do solenóide. (b) Usar Um=L R / 2 a fim-t de achar a energia no solenóide em termos do campo magnético B. © Mostrar que a densidade de energia no solenóide é etam=B^2 /(2 Km mu0)= B^2 / 2 mu.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um solenóide muito comprido com certas características e pede para a gente encontrar a auto-indutância, a energia armazenada e a densidade de energia no solenóide. Vamos usar conceitos de eletromagnetismo, como indutância, campo magnético e energia em campos magnéticos. Para resolver isso, vamos precisar saber as fórmulas básicas de indutância de um solenóide, a relação entre energia e indutância, e como calcular a densidade de energia a partir do campo magnético.

Passo 2

Parte (a): Achar a auto-indutância do solenóide.
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da auto-indutância ( L) de um solenóide. A indutância depende de alguns fatores: o número de espiras ( N), a área da seção reta ( A), o comprimento do solenóide ( ell) e a permeabilidade magnética do núcleo ( mu).
A fórmula geral para a indutância de um solenóide é:
L = mu N^2 Aell
Aqui, mu é a permeabilidade magnética do núcleo, que para um material com permeabilidade relativa Km é:
mu = Km mu0
Onde mu0 é a permeabilidade do vácuo ( mu0 = 4pi times 10^-7 Tcdot m/A).
Como o solenóide tem n espiras por unidade de comprimento, o número total de espiras é N = n ell. Substituindo isso na fórmula da indutância:
L = mu (n ell)^2 Aell = mu n^2 A ell
Então, a auto-indutância do solenóide é:
L = Km mu0 n^2 A ell

Passo 3

Parte (b): Calcular a energia no solenóide em termos do campo magnético B.
A energia armazenada em um indutor é dada pela fórmula:
Um = L I^22
Onde:
  • Um é a energia armazenada,
  • L é a auto-indutância,
  • I é a corrente que passa pelo solenóide.
Queremos expressar essa energia em termos do campo magnético B. Sabemos que o campo magnético dentro de um solenóide é dado por:
B = mu n I
Vamos resolver a equação para I:
I = Bmu n
Agora, substituímos I na fórmula da energia:
Um = L2 ( Bmu n )^2
Substituindo a expressão de L que encontramos anteriormente:
Um = Km mu0 n^2 A ell2 ( BKm mu0 n )^2
Simplificando:
Um = Km mu0 n^2 A ell2 cdot B^2Km^2 mu0^2 n^2 = B^2 A ell2 Km mu0
Então, a energia no solenóide em termos do campo magnético B é:
Um = B^2 A ell2 Km mu0

Passo 4

Parte ©: Mostrar que a densidade de energia no solenóide é etam = B^22 Km mu0 = B^22 mu.
A densidade de energia ( etam) é a energia por unidade de volume. Primeiro, vamos encontrar o volume ( V) do solenóide:
V = A ell
Usando a expressão da energia que encontramos na parte (b):
Um = B^2 A ell2 Km mu0
Agora, a densidade de energia é:
etam = UmV = B^2 A ell2 Km mu0A ell = B^22 Km mu0
Como mu = Km mu0, podemos escrever:
etam = B^22 mu
Portanto, mostramos que a densidade de energia no solenóide é:
etam = B^22 Km mu0 = B^22 mu

Resposta

Finalizando, as respostas são:
(a) A auto-indutância do solenóide é L = Km mu0 n^2 A ell.
(b) A energia no solenóide em termos do campo magnético B é Um = B^2 A ell2 Km mu0.
© A densidade de energia no solenóide é etam = B^22 Km mu0 = B^22 mu.

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