Uma particula move-se ao longo do eixo xy. As suas coordenadas săo dadas em função do tempo por
(wt) e
sen (wt), onde
e w são constantes. Mostrar que o módulo de velocidade da partícula é constante e igual ao wR.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o movimento de uma partícula no plano xy, onde as posições x e y são dadas por funções do tempo:
e . O objetivo é mostrar que a velocidade dessa partícula tem módulo constante, igual a
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente derivadas para encontrar a velocidade a partir das posições.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as componentes da velocidade. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar as equações de
e
em relação a
.
Para
:
Para :
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar funções trigonométricas.
Passo 3
Agora que temos as componentes da velocidade
e
, vamos calcular o módulo da velocidade, que é a velocidade total da partícula. A fórmula para o módulo da velocidade é:
Substituindo as expressões que encontramos:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão:
Sabemos que , então:
Resposta
O módulo da velocidade da partícula é constante e igual a
.