Uma particula move-se ao longo do eixo xy. As suas coordenadas săo dadas em função do tempo por x=R cos (wt) e y=R sen (wt), onde R e w são constantes. Mostrar que o módulo de velocidade da partícula é constante e igual ao wR.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o movimento de uma partícula no plano xy, onde as posições x e y são dadas por funções do tempo: e . O objetivo é mostrar que a velocidade dessa partícula tem módulo constante, igual a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente derivadas para encontrar a velocidade a partir das posições.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as componentes da velocidade. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar as equações de vx = dxdt = -R w sen(wt) e vy = dydt = R w cos(wt) em relação a .
Para :
Para :
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar funções trigonométricas.

Passo 3

Agora que temos as componentes da velocidade |v| = raizvx^2 + vy^2 e |v| = raiz(-R w sen(wt))^2 + (R w cos(wt))^2 , vamos calcular o módulo da velocidade, que é a velocidade total da partícula. A fórmula para o módulo da velocidade é:
Substituindo as expressões que encontramos:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
Sabemos que , então:
|v| = raizR^2 w^2 sen^2(wt) + R^2 w^2 cos^2(wt) = raizR^2 w^2 (sen^2(wt) + cos^2(wt))

Resposta

O módulo da velocidade da partícula é constante e igual a .

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