Sendo |u|=3,|v|=4 e 120^circ o ângulo entre os vetores u e v, calcular o volume do paralelepípedo determinado por u times v, u e v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o volume de um paralelepípedo formado por três vetores: u times v, u e v. Vamos usar conceitos de vetores e produto vetorial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, sabemos que o volume de um paralelepípedo determinado por três vetores a, b e c é dado pelo valor absoluto do produto misto desses vetores, que é calculado assim:
V = |a cdot (b times c)|
No nosso caso, os vetores são u times v, u e v. Então, substituindo na fórmula:
V = |(u times v) cdot (u times v)|

Passo 3

Agora, vamos lembrar que o produto de um vetor pelo próprio vetorial (u times v) cdot (u times v) é igual ao quadrado do módulo desse vetor. Ou seja:
(u times v) cdot (u times v) = |u times v|^2
Então, temos:
V = |u times v|^2

Passo 4

Para encontrar |u times v|, usamos a fórmula do módulo do produto vetorial:
|u times v| = |u| cdot |v| cdot sin(theta)
Onde theta é o ângulo entre os vetores u e v. Sabemos que |u| = 3, |v| = 4 e theta = 120^circ. Substituindo:
|u times v| = 3 cdot 4 cdot sin(120^circ)

Passo 5

Calculando o valor de sin(120^circ), que sabemos ser raiz32:
|u times v| = 3 cdot 4 cdot raiz32 = 12 cdot raiz32 = 6raiz3

Passo 6

Agora, elevamos esse valor ao quadrado para encontrar o volume:
V = |u times v|^2 = (6raiz3)^2 = 36 cdot 3 = 108

Resposta

O volume do paralelepípedo é 108 unidades cúbicas.

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