Sendo e o ângulo entre os vetores e , calcular o volume do paralelepípedo determinado por , e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o volume de um paralelepípedo formado por três vetores: , e . Vamos usar conceitos de vetores e produto vetorial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, sabemos que o volume de um paralelepípedo determinado por três vetores , e é dado pelo valor absoluto do produto misto desses vetores, que é calculado assim:
No nosso caso, os vetores são , e . Então, substituindo na fórmula:
Passo 3
Agora, vamos lembrar que o produto de um vetor pelo próprio vetorial é igual ao quadrado do módulo desse vetor. Ou seja:
Então, temos:
Passo 4
Para encontrar , usamos a fórmula do módulo do produto vetorial:
Onde é o ângulo entre os vetores e . Sabemos que , e . Substituindo:
Passo 5
Calculando o valor de , que sabemos ser :
Passo 6
Agora, elevamos esse valor ao quadrado para encontrar o volume: