Sendo e o ângulo entre os vetores e , calcular o volume do paralelepípedo determinado por , e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o volume de um paralelepípedo formado por três vetores: , e . Vamos usar conceitos de vetores e produto vetorial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, sabemos que o volume de um paralelepípedo determinado por três vetores , e é dado pelo valor absoluto do produto misto desses vetores, que é calculado assim:
No nosso caso, os vetores são , e . Então, substituindo na fórmula:

Passo 3

Agora, vamos lembrar que o produto de um vetor pelo próprio vetorial é igual ao quadrado do módulo desse vetor. Ou seja:
Então, temos:

Passo 4

Para encontrar , usamos a fórmula do módulo do produto vetorial:
Onde é o ângulo entre os vetores e . Sabemos que , e . Substituindo:

Passo 5

Calculando o valor de , que sabemos ser :

Passo 6

Agora, elevamos esse valor ao quadrado para encontrar o volume:

Resposta

O volume do paralelepípedo é unidades cúbicas.

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