Uma moeda de 15 g , com um diâmetro de
, rodopia a
em torno de um eixo vertical. Deslizando e rodopiando, qual é a quantidade de movimento angular (incluindo a orientação) da moeda em relação a um ponto que está 10 cm ao norte da linha sobre a qual se desloca o centro de massa?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos uma moeda que pesa 15 gramas e tem um diâmetro de 1,5 cm. Essa moeda tá girando rapidinho, fazendo 10 voltas por segundo, em torno de um eixo vertical. Além disso, ela também tá deslizando enquanto gira. A pergunta é: qual é a quantidade de movimento angular dessa moeda em relação a um ponto que está 10 cm ao norte da linha pela qual o centro de massa da moeda se move?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de momento angular, que envolve tanto o giro da moeda em si quanto a movimentação do centro de massa dela em relação a esse ponto fixo. Vamos calcular essas duas partes separadamente e depois somar.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o momento angular devido ao giro da moeda em torno do próprio eixo. A fórmula para o momento angular
de um objeto rígido que gira é:
onde:
-
é o momento de inércia da moeda, -
é a velocidade angular em rad/s.
Como a moeda é um disco fino girando em torno de seu eixo central, o momento de inércia
é dado por:
Vamos converter as unidades para facilitar. A massa
é 15 g, que é 0,015 kg, e o diâmetro é 1,5 cm, então o raio
é 0,75 cm ou 0,0075 m.
Calculando
:
Passo 3
Agora, precisamos da velocidade angular
. A moeda faz 10 voltas por segundo, então:
Calculando
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o momento angular devido ao movimento do centro de massa da moeda em relação ao ponto fixo a 10 cm ao norte. Para isso, usamos a fórmula:
onde:
-
é o vetor posição do centro de massa em relação ao ponto, -
é o momento linear da moeda.
Primeiro, o vetor posição
tem magnitude de 10 cm, que é 0,1 m.
O momento linear
é dado por:
Precisamos encontrar a velocidade
do centro de massa. Se a moeda está rodopiando a 10 rev/s e deslizando, podemos assumir que o deslocamento linear está relacionado à rotação. Porém, a questão não especifica a velocidade de translação, então assumiremos que a velocidade linear é proporcional à rotação:
Agora, calculando
:
Como
e
são perpendiculares, o produto vetorial simplifica para:
Passo 5
Finalmente, somamos os dois momentos angulares para obter o momento angular total
:
Resposta
A quantidade de movimento angular da moeda em relação ao ponto especificado é aproximadamente
.