Uma moeda de 15 g , com um diâmetro de 1,5 cm, rodopia a 10 rev / s em torno de um eixo vertical. Deslizando e rodopiando, qual é a quantidade de movimento angular (incluindo a orientação) da moeda em relação a um ponto que está 10 cm ao norte da linha sobre a qual se desloca o centro de massa?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos uma moeda que pesa 15 gramas e tem um diâmetro de 1,5 cm. Essa moeda tá girando rapidinho, fazendo 10 voltas por segundo, em torno de um eixo vertical. Além disso, ela também tá deslizando enquanto gira. A pergunta é: qual é a quantidade de movimento angular dessa moeda em relação a um ponto que está 10 cm ao norte da linha pela qual o centro de massa da moeda se move?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de momento angular, que envolve tanto o giro da moeda em si quanto a movimentação do centro de massa dela em relação a esse ponto fixo. Vamos calcular essas duas partes separadamente e depois somar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o momento angular devido ao giro da moeda em torno do próprio eixo. A fórmula para o momento angular Lgiro = I cdot omega de um objeto rígido que gira é:
I = 12 m r^2
onde:
  • I = 12 times 0,015 , kg times (0,0075 , m)^2 = 12 times 0,015 times 0,00005625 = 0,000000421875 , kg cdot m^2 é o momento de inércia da moeda,
  • é a velocidade angular em rad/s.
Como a moeda é um disco fino girando em torno de seu eixo central, o momento de inércia é dado por:
Vamos converter as unidades para facilitar. A massa é 15 g, que é 0,015 kg, e o diâmetro é 1,5 cm, então o raio é 0,75 cm ou 0,0075 m.
Calculando :

Passo 3

Agora, precisamos da velocidade angular omega = 10 , rev/s times 2pi , rad/rev = 20pi , rad/s . A moeda faz 10 voltas por segundo, então:
Lgiro = 0,000000421875 , kg cdot m^2 times 20pi , rad/s approx 0,0000265 , kg cdot m^2/s
Calculando :

Passo 4

Agora, vamos calcular o momento angular devido ao movimento do centro de massa da moeda em relação ao ponto fixo a 10 cm ao norte. Para isso, usamos a fórmula:
Ltranslação = r times p çã
onde:
  • p = m cdot v é o vetor posição do centro de massa em relação ao ponto,
  • v = r cdot omega = 0,0075 , m times 20pi , rad/s approx 0,471 , m/s é o momento linear da moeda.
Primeiro, o vetor posição p = 0,015 , kg times 0,471 , m/s = 0,00707 , kg cdot m/s tem magnitude de 10 cm, que é 0,1 m.
O momento linear Ltranslação = r cdot p = 0,1 , m times 0,00707 , kg cdot m/s = 0,000707 , kg cdot m^2/s é dado por:
Precisamos encontrar a velocidade do centro de massa. Se a moeda está rodopiando a 10 rev/s e deslizando, podemos assumir que o deslocamento linear está relacionado à rotação. Porém, a questão não especifica a velocidade de translação, então assumiremos que a velocidade linear é proporcional à rotação:
Agora, calculando :
Como e são perpendiculares, o produto vetorial simplifica para:
çã

Passo 5

Finalmente, somamos os dois momentos angulares para obter o momento angular total Ltotal = Lgiro + Ltranslação approx 0,0000265 + 0,000707 = 0,0007335 , kg cdot m^2/s :
çã

Resposta

A quantidade de movimento angular da moeda em relação ao ponto especificado é aproximadamente .

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