Uma bússola é colocada em uma superfície horizontal, e a agulha recebe um leve empurrão que a
faz oscilar em torno da posição de equilíbrio. A frequência de oscilação é
. O campo magnético da Terra no local possui uma componente horizontal de
, e a agulha possui um momento magnético de
T. Determine o momento de inércia da agulha em relação ao eixo (vertical) de rotação.
faz oscilar em torno da posição de equilíbrio. A frequência de oscilação é
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo e identificar os conceitos envolvidos. Temos uma bússola cuja agulha está oscilando com uma frequência de
devido a um leve empurrão. Sabemos também que o campo magnético da Terra no local tem uma componente horizontal de
e que a agulha possui um momento magnético de
. Nosso objetivo é determinar o momento de inércia da agulha em relação ao eixo vertical de rotação.
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de movimento harmônico simples (MHS) e torque magnético. Vamos utilizar a relação entre a frequência de oscilação, o momento magnético, o campo magnético e o momento de inércia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da frequência para um sistema de movimento harmônico simples:
Onde:
-
é a frequência, -
é a constante elástica do sistema, -
é o momento de inércia.
No nosso caso, o “restaurador” da oscilação é o torque magnético (
) que atua na agulha. Este torque é dado por:
Onde:
-
é o momento magnético da agulha, -
é o campo magnético.
Para pequenos ângulos de oscilação, o sistema pode ser tratado como um MHS, onde a constante elástica
está relacionada ao torque magnético:
Substituindo
na fórmula da frequência, temos:
Passo 3
Agora, vamos isolar o momento de inércia (
) na equação acima:
Passo 4
Vamos agora substituir os valores fornecidos no enunciado na fórmula encontrada:
- Momento magnético,
- Campo magnético,
- Frequência,
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Agora, vamos calcular passo a passo:
- Calcular o numerador:
- Calcular o denominador:
- Agora, dividir o numerador pelo denominador:
Resposta
O momento de inércia da agulha em relação ao eixo vertical de rotação é aproximadamente
.
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