Uma bússola é colocada em uma superfície horizontal, e a agulha recebe um leve empurrão que a
faz oscilar em torno da posição de equilíbrio. A frequência de oscilação é 0,312 Hz. O campo magnético da Terra no local possui uma componente horizontal de 18,0 mu T, e a agulha possui um momento magnético de 0,680 mJ / T. Determine o momento de inércia da agulha em relação ao eixo (vertical) de rotação.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo e identificar os conceitos envolvidos. Temos uma bússola cuja agulha está oscilando com uma frequência de 0,312 Hz devido a um leve empurrão. Sabemos também que o campo magnético da Terra no local tem uma componente horizontal de 18,0 mu T e que a agulha possui um momento magnético de 0,680 mJ/T. Nosso objetivo é determinar o momento de inércia da agulha em relação ao eixo vertical de rotação.
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de movimento harmônico simples (MHS) e torque magnético. Vamos utilizar a relação entre a frequência de oscilação, o momento magnético, o campo magnético e o momento de inércia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da frequência para um sistema de movimento harmônico simples:
f = 12pi raizkI
Onde:
  • f é a frequência,
  • k é a constante elástica do sistema,
  • I é o momento de inércia.
No nosso caso, o “restaurador” da oscilação é o torque magnético ( tau) que atua na agulha. Este torque é dado por:
tau = m cdot B
Onde:
  • m é o momento magnético da agulha,
  • B é o campo magnético.
Para pequenos ângulos de oscilação, o sistema pode ser tratado como um MHS, onde a constante elástica k está relacionada ao torque magnético:
k = tau/theta = m cdot B
Substituindo k na fórmula da frequência, temos:
f = 12pi raizm cdot BI

Passo 3

Agora, vamos isolar o momento de inércia ( I) na equação acima:
f = 12pi raizm cdot BI Rightarrow 2pi f = raizm cdot BI Rightarrow (2pi f)^2 = m cdot BI Rightarrow I = m cdot B(2pi f)^2

Passo 4

Vamos agora substituir os valores fornecidos no enunciado na fórmula encontrada:
  • Momento magnético, m = 0,680 mJ/T = 0,680 times 10^-3 J/T
  • Campo magnético, B = 18,0 mu T = 18,0 times 10^-6 T
  • Frequência, f = 0,312 Hz
Substituindo na fórmula:
I = 0,680 times 10^-3 cdot 18,0 times 10^-6(2pi cdot 0,312)^2

Passo 5

Agora, vamos calcular passo a passo:
  1. Calcular o numerador:
0,680 times 10^-3 times 18,0 times 10^-6 = 0,680 times 18,0 times 10^-9 = 12,24 times 10^-9 J cdot T
  1. Calcular o denominador:
2pi cdot 0,312 approx 1,96 (1,96)^2 approx 3,8416
  1. Agora, dividir o numerador pelo denominador:
I = 12,24 times 10^-93,8416 approx 3,186 times 10^-9 kg cdot m^2

Resposta

O momento de inércia da agulha em relação ao eixo vertical de rotação é aproximadamente 3,19 times 10^-9 kg cdot m^2.

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