Uma bússola é colocada em uma superfície horizontal, e a agulha recebe um leve empurrão que a
faz oscilar em torno da posição de equilíbrio. A frequência de oscilação é . O campo magnético da Terra no local possui uma componente horizontal de , e a agulha possui um momento magnético de T. Determine o momento de inércia da agulha em relação ao eixo (vertical) de rotação.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo e identificar os conceitos envolvidos. Temos uma bússola cuja agulha está oscilando com uma frequência de devido a um leve empurrão. Sabemos também que o campo magnético da Terra no local tem uma componente horizontal de e que a agulha possui um momento magnético de . Nosso objetivo é determinar o momento de inércia da agulha em relação ao eixo vertical de rotação.
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de movimento harmônico simples (MHS) e torque magnético. Vamos utilizar a relação entre a frequência de oscilação, o momento magnético, o campo magnético e o momento de inércia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da frequência para um sistema de movimento harmônico simples:
Onde:
  • é a frequência,
  • é a constante elástica do sistema,
  • é o momento de inércia.
No nosso caso, o “restaurador” da oscilação é o torque magnético ( ) que atua na agulha. Este torque é dado por:
Onde:
  • é o momento magnético da agulha,
  • é o campo magnético.
Para pequenos ângulos de oscilação, o sistema pode ser tratado como um MHS, onde a constante elástica está relacionada ao torque magnético:
Substituindo na fórmula da frequência, temos:

Passo 3

Agora, vamos isolar o momento de inércia ( ) na equação acima:

Passo 4

Vamos agora substituir os valores fornecidos no enunciado na fórmula encontrada:
  • Momento magnético,
  • Campo magnético,
  • Frequência,
Substituindo na fórmula:

Passo 5

Agora, vamos calcular passo a passo:
  1. Calcular o numerador:
  1. Calcular o denominador:
  1. Agora, dividir o numerador pelo denominador:

Resposta

O momento de inércia da agulha em relação ao eixo vertical de rotação é aproximadamente .

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