Última questāo. Ou não. Digamos que você tem bastante tempo livre para, além de observar um pêndulo amorte cido, aplicar uma força no sistema de vez em quando. Neste caso é adicionado um termo na equaçâo do movimento que tem então a forma
d^2 xd t^2+2 lambda d xd t+omega^2 x=f(t)
onde f(t) representa a força por unidade de massa aplicada no sistema e fez com que a equaçảo deixasse de ser homogênea.
Você tem que resolver a Eq. (7), mas para facilitar as coisas vamos supor que não há amortecimento e que a lorģa externa pode ser escrita como
f(t)=F0 sin (gamma t)
em que F0 e gamma sāo constantes. Ao trabalho agora:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que descreve o movimento de um pêndulo forçado, ou seja, com uma força externa aplicada. A equação é:
d^2 xd t^2 + 2 lambda d xd t + omega^2 x = f(t)
Mas, para facilitar, vamos ignorar o termo de amortecimento (ou seja, deixar f(t) = F0 sin (gamma t) ) e considerar que a força externa é:
d^2 xd t^2 + omega^2 x = F0 sin (gamma t)
Então, precisamos resolver a equação diferencial:
Vamos precisar de conhecimentos sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem e soluções particulares.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é sem o termo de força externa:
d^2 xd t^2 + omega^2 x = 0
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é uma combinação de funções seno e cosseno.

Passo 3

Para encontrar a solução geral da equação homogênea, assumimos que a solução tem a forma xh(t) = A cos(omega t) + B sin(omega t) , onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (que não temos aqui). Então:

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa. Como o lado direito da equação é uma função seno, tentamos uma solução particular da forma:
xp(t) = C sin(gamma t) + D cos(gamma t)
Mas, para simplificar, como a solução particular geralmente absorve apenas uma função, vamos tentar apenas:
xp(t) = C sin(gamma t)

Passo 5

Vamos substituir d xpd t = C gamma cos(gamma t) na equação diferencial:
Primeiro, calculamos as derivadas:
d^2 xpd t^2 = -C gamma^2 sin(gamma t)
- C gamma^2 sin(gamma t) + omega^2 C sin(gamma t) = F0 sin(gamma t)
Substituindo na equação:
C (omega^2 - gamma^2) sin(gamma t) = F0 sin(gamma t)
Fatorando C (omega^2 - gamma^2) = F0 Rightarrow C = F0omega^2 - gamma^2 :
xp(t) = F0omega^2 - gamma^2 sin(gamma t)
Então, comparando os coeficientes:
Portanto, a solução particular é:

Passo 6

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
x(t) = xh(t) + xp(t) = A cos(omega t) + B sin(omega t) + F0omega^2 - gamma^2 sin(gamma t)

Resposta

A solução geral do sistema é:
x(t) = A cos(omega t) + B sin(omega t) + F0omega^2 - gamma^2 sin(gamma t)
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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