Última questāo. Ou não. Digamos que você tem bastante tempo livre para, além de observar um pêndulo amorte cido, aplicar uma força no sistema de vez em quando. Neste caso é adicionado um termo na equaçâo do movimento que tem então a forma
onde
representa a força por unidade de massa aplicada no sistema e fez com que a equaçảo deixasse de ser homogênea.
Você tem que resolver a Eq. (7), mas para facilitar as coisas vamos supor que não há amortecimento e que a lorģa externa pode ser escrita como
em que
e
sāo constantes. Ao trabalho agora:
Você tem que resolver a Eq. (7), mas para facilitar as coisas vamos supor que não há amortecimento e que a lorģa externa pode ser escrita como
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que descreve o movimento de um pêndulo forçado, ou seja, com uma força externa aplicada. A equação é:
Mas, para facilitar, vamos ignorar o termo de amortecimento (ou seja, deixar
) e considerar que a força externa é:
Então, precisamos resolver a equação diferencial:
Vamos precisar de conhecimentos sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem e soluções particulares.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é sem o termo de força externa:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é uma combinação de funções seno e cosseno.
Passo 3
Para encontrar a solução geral da equação homogênea, assumimos que a solução tem a forma
, onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (que não temos aqui). Então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa. Como o lado direito da equação é uma função seno, tentamos uma solução particular da forma:
Mas, para simplificar, como a solução particular geralmente absorve apenas uma função, vamos tentar apenas:
Passo 5
Vamos substituir
na equação diferencial:
Primeiro, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação:
Fatorando
:
Então, comparando os coeficientes:
Portanto, a solução particular é:
Passo 6
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.