Uma moeda é lançada 20 vezes. Qual é a probabilidade de saírem 8 caras?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de probabilidade aqui: lançar uma moeda 20 vezes e querer saber qual é a chance de sair exatamente 8 caras. Para resolver isso, vamos usar o conceito de Distribuição Binomial, que é perfeito para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis saídas (cara ou coroa).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Distribuição Binomial. Ela nos ajuda a calcular a probabilidade de acontecer exatamente “k” sucessos em “n” tentativas, quando cada tentativa tem uma probabilidade “p” de sucesso. A fórmula é:
P(k) = C(n, k) times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • $ C(n, k) $ é o número de combinações de “n” elementos tomados “k” a “k”.
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
  • $ n $ é o número total de tentativas.
  • $ k $ é o número de sucessos que queremos.

Passo 3

No nosso caso:
  • $ n = 20 $ (20 lançamentos da moeda)
  • $ k = 8 $ (queremos exatamente 8 caras)
  • Como a moeda é justa, $ p = 0.5 $ (probabilidade de dar cara)

Passo 4

Vamos calcular o número de combinações $ C(20, 8) $. Isso significa quantas maneiras diferentes podemos obter 8 caras em 20 lançamentos. A fórmula para combinações é:
C(20, 8)
Então:
C(n, k) = n!k! times (n - k)!

Passo 5

Calculando $ C(20, 8) $:
C(20, 8)

Passo 6

Agora, vamos aplicar na fórmula da distribuição binomial:
P(8) = 125970 times (0.5)^8 times (0.5)^12

Passo 7

Simplificando os termos de potência:
P(8) = 125970 times (0.5)^20
Sabendo que $ (0.5)^{20} \approx 0.0000009536743164 $

Passo 8

Multiplicando os valores:
P(8) = 125970 times 0.0000009536743164 approx 0.120

Resposta

A probabilidade de sair exatamente 8 caras em 20 lançamentos de uma moeda é aproximadamente 12,0%.

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