Uma moeda é lançada 20 vezes. Qual é a probabilidade de saírem 8 caras?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de probabilidade aqui: lançar uma moeda 20 vezes e querer saber qual é a chance de sair exatamente 8 caras. Para resolver isso, vamos usar o conceito de Distribuição Binomial, que é perfeito para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis saídas (cara ou coroa).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a Distribuição Binomial. Ela nos ajuda a calcular a probabilidade de acontecer exatamente “k” sucessos em “n” tentativas, quando cada tentativa tem uma probabilidade “p” de sucesso. A fórmula é:
Onde:
- $ C(n, k) $ é o número de combinações de “n” elementos tomados “k” a “k”.
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
- $ n $ é o número total de tentativas.
- $ k $ é o número de sucessos que queremos.
Passo 3
No nosso caso:
- $ n = 20 $ (20 lançamentos da moeda)
- $ k = 8 $ (queremos exatamente 8 caras)
- Como a moeda é justa, $ p = 0.5 $ (probabilidade de dar cara)
Passo 4
Vamos calcular o número de combinações $ C(20, 8) $. Isso significa quantas maneiras diferentes podemos obter 8 caras em 20 lançamentos. A fórmula para combinações é:
Então:
Passo 5
Calculando $ C(20, 8) $:
Passo 6
Agora, vamos aplicar na fórmula da distribuição binomial:
Passo 7
Simplificando os termos de potência:
Sabendo que $ (0.5)^{20} \approx 0.0000009536743164 $
Passo 8
Multiplicando os valores:
Resposta
A probabilidade de sair exatamente 8 caras em 20 lançamentos de uma moeda é aproximadamente 12,0%.