A altura de um avião, voando entre duas cidades situadas ao nível do mar, pode ser modelada pela relação h(t) = 800t — 30t², em que h é a altura do avião, em metros, e t é o tempo, em minutos, decorridos após a decolagem do avião.
a) Quanto tempo dura a viagem?
b) Em que momento o avião atinge a altura máxima?
c) A que altura inicia a descida do avião?
a) Quanto tempo dura a viagem?
b) Em que momento o avião atinge a altura máxima?
c) A que altura inicia a descida do avião?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem a altura de um avião, dada pela função $ h(t) = 800t - 30t^2 $, onde $ h $ é a altura em metros e $ t $ é o tempo em minutos após a decolagem. O conteúdo aqui envolve funções quadráticas e conceitos de álgebra. Vamos precisar entender como encontrar o tempo de duração da viagem, o momento em que o avião atinge a altura máxima e a altura onde começa a descer.
Passo 2
a) Quanto tempo dura a viagem?
Primeiro, precisamos entender quando a viagem termina. Sabemos que o avião decola do nível do mar e, eventualmente, aterrissa de volta ao mesmo nível. Então, a viagem dura até que a altura $ h(t) $ volte a ser zero.
Temos a equação:
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de $ t $.
Passo 3
Para resolver $ 800t - 30t^2 = 0 $, podemos fatorar $ t $:
Isso nos dá duas soluções:
- $ t = 0 $ (o momento da decolagem)
- $ 800 - 30t = 0 $
Resolvendo a segunda equação:
Passo 4
b) Em que momento o avião atinge a altura máxima?
A altura máxima ocorre no vértice da parábola representada pela função quadrática $ h(t) = 800t - 30t^2 $.
Para funções na forma $ h(t) = at^2 + bt + c $, o tempo no vértice é dado por:
Aqui, $ a = -30 $ e $ b = 800 $. Então:
Passo 5
c) A que altura inicia a descida do avião?
A descida começa exatamente após o avião atingir sua altura máxima. Já calculamos o tempo em que isso ocorre ($ t \approx 13,!33 $ minutos). Vamos calcular a altura nesse momento substituindo $ t $ na função $ h(t) $:
Calculando:
Resposta
a) A viagem dura aproximadamente 26,67 minutos.
b) O avião atinge a altura máxima em 13,33 minutos após a decolagem.
c) A descida do avião inicia a uma altura de aproximadamente 5.331 metros.
b) O avião atinge a altura máxima em 13,33 minutos após a decolagem.
c) A descida do avião inicia a uma altura de aproximadamente 5.331 metros.