A altura de um avião, voando entre duas cidades situadas ao nível do mar, pode ser modelada pela relação h(t) = 800t — 30t², em que h é a altura do avião, em metros, e t é o tempo, em minutos, decorridos após a decolagem do avião.
a) Quanto tempo dura a viagem?
b) Em que momento o avião atinge a altura máxima?
c) A que altura inicia a descida do avião?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem a altura de um avião, dada pela função $ h(t) = 800t - 30t^2 $, onde $ h $ é a altura em metros e $ t $ é o tempo em minutos após a decolagem. O conteúdo aqui envolve funções quadráticas e conceitos de álgebra. Vamos precisar entender como encontrar o tempo de duração da viagem, o momento em que o avião atinge a altura máxima e a altura onde começa a descer.

Passo 2

a) Quanto tempo dura a viagem?
Primeiro, precisamos entender quando a viagem termina. Sabemos que o avião decola do nível do mar e, eventualmente, aterrissa de volta ao mesmo nível. Então, a viagem dura até que a altura $ h(t) $ volte a ser zero.
Temos a equação:
h(t)
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de $ t $.

Passo 3

Para resolver $ 800t - 30t^2 = 0 $, podemos fatorar $ t $:
800t - 30t^2 = 0
Isso nos dá duas soluções:
  1. $ t = 0 $ (o momento da decolagem)
  2. $ 800 - 30t = 0 $
Resolvendo a segunda equação:
t
t(800 - 30t) = 0
t = 0
800 - 30t = 0
800 - 30t = 0

Passo 4

b) Em que momento o avião atinge a altura máxima?
A altura máxima ocorre no vértice da parábola representada pela função quadrática $ h(t) = 800t - 30t^2 $.
Para funções na forma $ h(t) = at^2 + bt + c $, o tempo no vértice é dado por:
h(t) = 800t - 30t^2
Aqui, $ a = -30 $ e $ b = 800 $. Então:
h(t) = at^2 + bt + c
t = -b2a
a = -30
b = 800
t = -8002 times (-30)

Passo 5

c) A que altura inicia a descida do avião?
A descida começa exatamente após o avião atingir sua altura máxima. Já calculamos o tempo em que isso ocorre ($ t \approx 13,!33 $ minutos). Vamos calcular a altura nesse momento substituindo $ t $ na função $ h(t) $:
t approx 13,!33
Calculando:
t
h(t)
h(13,!33) = 800 times 13,!33 - 30 times (13,!33)^2
h(13,!33) = 800 times 13,!33 = 10,!664

Resposta

a) A viagem dura aproximadamente 26,67 minutos.
b) O avião atinge a altura máxima em 13,33 minutos após a decolagem.
c) A descida do avião inicia a uma altura de aproximadamente 5.331 metros.

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