A proporção de equipamentos com falhas em um lote é de 25 %. Considerando uma amostra de tamanho 50, qual é a probabilidade dessa amostra fornecer uma proporção de equipamentos defeituosos menor que 0,3 ?

Passo 1

Então, galera, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem um lote de equipamentos onde 25% são defeituosos. A missão aqui é descobrir qual a chance de, ao pegar uma amostra de 50 equipamentos, menos de 30% deles serem defeituosos. Vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição normal para isso. Precisamos entender como funciona a distribuição da proporção amostral e usar essa informação para calcular a probabilidade que a gente quer.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na média e no desvio padrão da proporção amostral, que é a taxa média de defeitos que esperaríamos na nossa amostra. Sabemos que a proporção verdadeira de defeitos, $ p $, é 25%, ou seja, $ p = 0,25 $. O tamanho da amostra é $ n = 50 $.

Passo 3

A média da distribuição da proporção amostral $ \hat{p} $ é igual a $ p $, então:
p
Agora, vamos calcular o desvio padrão dessa distribuição. A fórmula para o desvio padrão da proporção amostral é:
p
Calculando isso:
mup = p = 0,25

Passo 4

Agora, queremos encontrar a probabilidade de que a proporção amostral $ \hat{p} $ seja menor que 0,3. Para isso, vamos calcular o valor z, que nos ajuda a determinar essa probabilidade usando a distribuição normal padrão. A fórmula para o valor z é:
p

Passo 5

Com o valor z calculado, vamos usar a tabela da distribuição normal ou uma calculadora para encontrar a probabilidade correspondente. Um z de aproximadamente 0,816 nos dá uma probabilidade de cerca de 0,7928, ou 79,28%.

Resposta

A probabilidade de que, em uma amostra de 50 equipamentos, menos de 30% sejam defeituosos é de aproximadamente 79,3%.

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