Uma moeda é viciada de modo que a probabilidade de sair pelo menos uma cara é 4 vezes maior que a de sair coroa. Ao lançar essa moeda duas vezes, determine;
a) 0 espaço amostral;
b) A probabilidade de sair somente uma cara;
c) A probabilidade de sair pelo menos uma cara;
d) A probabilidade de dois resultados iguais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma moeda viciada, ou seja, que não é justa. A probabilidade de sair pelo menos uma cara é 4 vezes maior que a de sair coroa. Nosso objetivo aqui é, ao lançar essa moeda duas vezes, descobrir:
a) qual é o espaço amostral;
b) a probabilidade de sair somente uma cara;
c) a probabilidade de sair pelo menos uma cara;
d) a probabilidade de dois resultados iguais.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade básica, como espaço amostral e cálculo de probabilidades para eventos específicos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender as probabilidades individuais da moeda viciada. Vamos chamar a probabilidade de sair cara de $ P© $ e a de sair coroa de $ P(K) $.
Segundo o enunciado, a probabilidade de sair pelo menos uma cara em dois lançamentos é 4 vezes maior que a de sair coroa. Mas vamos primeiro relacionar $ P© $ e $ P(K) $.
Sabemos que $ P© + P(K) = 1 $ porque a moeda só tem dois lados. No entanto, o enunciado fala sobre a probabilidade de sair pelo menos uma cara, que envolve mais de um lançamento.
Vamos definir isso melhor no próximo passo.

Passo 3

Vamos definir o espaço amostral para dois lançamentos. Em dois lançamentos, as possíveis combinações são:
  • Cara no primeiro e cara no segundo: CC
  • Cara no primeiro e coroa no segundo: CK
  • Coroa no primeiro e cara no segundo: KC
  • Coroa no primeiro e coroa no segundo: KK
Então, o espaço amostral é $ S = { CC, CK, KC, KK } $.

Passo 4

Agora, vamos entender a relação das probabilidades. O enunciado diz que a probabilidade de sair pelo menos uma cara é 4 vezes maior que a de sair coroa.
“Sair pelo menos uma cara” inclui os resultados CC, CK e KC. Já “sair coroa” se refere ao caso KK.
Então, temos:
P(pelo menos uma cara) = P(CC) + P(CK) + P(KC) = 4 times P(KK)
Como $ P(CC) = P© \times P© $, $ P(CK) = P© \times P(K) $, e $ P(KC) = P(K) \times P© $, e $ P(KK) = P(K) \times P(K) $.

Passo 5

Vamos chamar $ P© = p $ e $ P(K) = q $. Sabemos que $ p + q = 1 $.
A equação fica:
P(C) = p
Substituindo $ q = 1 - p $, temos:
P(K) = q
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de $ p $.

Passo 6

Expandindo a equação:
p^2 + 2p - 2p^2 = 4(1 - 2p + p^2)
Simplificando o lado esquerdo:
-p^2 + 2p
E o lado direito:
4 - 8p + 4p^2
Então, temos:
-p^2 + 2p = 4 - 8p + 4p^2
Rearranjando todos os termos para um lado:
-p^2 + 2p - 4 + 8p - 4p^2 = 0
-5p^2 + 10p - 4 = 0
Multiplicando ambos os lados por -1:
5p^2 - 10p + 4 = 0

Passo 7

Agora, vamos resolver a equação quadrática:
5p^2 - 10p + 4 = 0
Usando a fórmula quadrática:
p = 10 pm raiz(-10)^2 - 4 times 5 times 42 times 5
p = 10 pm raiz100 - 8010
p = 10 pm raiz2010
p = 10 pm 2raiz510
p = 1 pm raiz55
Como a probabilidade não pode ser maior que 1, descartamos a solução $ p = 1 + \frac{\sqrt{5}}{5} $. Assim:
p = 1 + raiz55
Calculando numericamente:
p = 1 - raiz55
Então, $ P© \approx 0.5528 $ e $ P(K) = 1 - p \approx 0.4472 $.

Passo 8

Agora que temos as probabilidades individuais, vamos responder as partes do exercício.
a) Espaço amostral
Já definimos no Passo 3:
S = CC, CK, KC, KK

Passo 9

b) A probabilidade de sair somente uma cara
“Só uma cara” significa que temos exatamente uma cara e uma coroa nos dois lançamentos, ou seja, os resultados CK e KC.
Então:
P(somente uma cara) = P(CK) + P(KC)
P(CK) = P(C) times P(K) = 0.5528 times 0.4472 approx 0.2478
P(KC) = P(K) times P(C) = 0.4472 times 0.5528 approx 0.2478
P(somente uma cara) approx 0.2478 + 0.2478 = 0.4956

Passo 10

c) A probabilidade de sair pelo menos uma cara
“Sair pelo menos uma cara” inclui os resultados CC, CK e KC.
Então:
P(pelo menos uma cara) = P(CC) + P(CK) + P(KC)
P(CC) = P(C) times P(C) = 0.5528 times 0.5528 approx 0.3056
P(CK) + P(KC) approx 0.4956
P(pelo menos uma cara) approx 0.3056 + 0.4956 = 0.8012

Passo 11

d) A probabilidade de dois resultados iguais
Dois resultados iguais podem ser ambos caras (CC) ou ambos coroas (KK).
Então:
P(dois iguais) = P(CC) + P(KK)
P(CC) approx 0.3056
P(KK) = P(K) times P(K) = 0.4472 times 0.4472 approx 0.1998
P(dois iguais) approx 0.3056 + 0.1998 = 0.5054

Resposta

a) $ S = { CC, CK, KC, KK } $
b) A probabilidade de sair somente uma cara é aproximadamente 0,4956 ou 49,56%.
c) A probabilidade de sair pelo menos uma cara é aproximadamente 0,8012 ou 80,12%.
d) A probabilidade de dois resultados iguais é aproximadamente 0,5054 ou 50,54%.

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