Uma moeda é viciada de modo que a probabilidade de sair pelo menos uma cara é 4 vezes maior que a de sair coroa. Ao lançar essa moeda duas vezes, determine;
a) 0 espaço amostral;
b) A probabilidade de sair somente uma cara;
c) A probabilidade de sair pelo menos uma cara;
d) A probabilidade de dois resultados iguais.
a) 0 espaço amostral;
b) A probabilidade de sair somente uma cara;
c) A probabilidade de sair pelo menos uma cara;
d) A probabilidade de dois resultados iguais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma moeda viciada, ou seja, que não é justa. A probabilidade de sair pelo menos uma cara é 4 vezes maior que a de sair coroa. Nosso objetivo aqui é, ao lançar essa moeda duas vezes, descobrir:
a) qual é o espaço amostral;
b) a probabilidade de sair somente uma cara;
c) a probabilidade de sair pelo menos uma cara;
d) a probabilidade de dois resultados iguais.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade básica, como espaço amostral e cálculo de probabilidades para eventos específicos.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender as probabilidades individuais da moeda viciada. Vamos chamar a probabilidade de sair cara de $ P© $ e a de sair coroa de $ P(K) $.
Segundo o enunciado, a probabilidade de sair pelo menos uma cara em dois lançamentos é 4 vezes maior que a de sair coroa. Mas vamos primeiro relacionar $ P© $ e $ P(K) $.
Sabemos que $ P© + P(K) = 1 $ porque a moeda só tem dois lados. No entanto, o enunciado fala sobre a probabilidade de sair pelo menos uma cara, que envolve mais de um lançamento.
Vamos definir isso melhor no próximo passo.
Passo 3
Vamos definir o espaço amostral para dois lançamentos. Em dois lançamentos, as possíveis combinações são:
- Cara no primeiro e cara no segundo: CC
- Cara no primeiro e coroa no segundo: CK
- Coroa no primeiro e cara no segundo: KC
- Coroa no primeiro e coroa no segundo: KK
Então, o espaço amostral é $ S = { CC, CK, KC, KK } $.
Passo 4
Agora, vamos entender a relação das probabilidades. O enunciado diz que a probabilidade de sair pelo menos uma cara é 4 vezes maior que a de sair coroa.
“Sair pelo menos uma cara” inclui os resultados CC, CK e KC. Já “sair coroa” se refere ao caso KK.
Então, temos:
Como $ P(CC) = P© \times P© $, $ P(CK) = P© \times P(K) $, e $ P(KC) = P(K) \times P© $, e $ P(KK) = P(K) \times P(K) $.
Passo 5
Vamos chamar $ P© = p $ e $ P(K) = q $. Sabemos que $ p + q = 1 $.
A equação fica:
Substituindo $ q = 1 - p $, temos:
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de $ p $.
Passo 6
Expandindo a equação:
Simplificando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Então, temos:
Rearranjando todos os termos para um lado:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Passo 7
Agora, vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula quadrática:
Como a probabilidade não pode ser maior que 1, descartamos a solução $ p = 1 + \frac{\sqrt{5}}{5} $. Assim:
Calculando numericamente:
Então, $ P© \approx 0.5528 $ e $ P(K) = 1 - p \approx 0.4472 $.
Passo 8
Agora que temos as probabilidades individuais, vamos responder as partes do exercício.
a) Espaço amostral
Já definimos no Passo 3:
Passo 9
b) A probabilidade de sair somente uma cara
“Só uma cara” significa que temos exatamente uma cara e uma coroa nos dois lançamentos, ou seja, os resultados CK e KC.
Então:
Passo 10
c) A probabilidade de sair pelo menos uma cara
“Sair pelo menos uma cara” inclui os resultados CC, CK e KC.
Então:
Passo 11
d) A probabilidade de dois resultados iguais
Dois resultados iguais podem ser ambos caras (CC) ou ambos coroas (KK).
Então:
Resposta
a) $ S = { CC, CK, KC, KK } $
b) A probabilidade de sair somente uma cara é aproximadamente 0,4956 ou 49,56%.
c) A probabilidade de sair pelo menos uma cara é aproximadamente 0,8012 ou 80,12%.
d) A probabilidade de dois resultados iguais é aproximadamente 0,5054 ou 50,54%.