Uma moeda é viciada de tal forma que a probabilidade de cair cara é de 0.20 . Suponha que a moeda é lançada 20 vezes. Encotre um limite para a probabilidade de se obter ao mesmos 16 caras. Compare esse limite com a verdadeira probabilidade calculada usando a distribuição Binomial. Como você considera tal aproximação? Resposta: Limite
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício fala sobre uma moeda viciada, onde a probabilidade de dar cara é de 0,20 (ou 20%). Essa moeda é lançada 20 vezes, e queremos descobrir um limite para a probabilidade de sair exatamente 16 caras. Depois, vamos comparar esse limite com a probabilidade verdadeira usando a distribuição Binomial. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre probabilidade e distribuição Binomial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar um limite para a probabilidade. Em termos simples, estamos procurando um valor que seja maior ou igual à probabilidade real de obtermos 16 caras em 20 lançamentos. Isso ajuda a ter uma noção de quão provável é esse evento, mesmo sem calcular exatamente a probabilidade.
Passo 3
Para encontrar esse limite, podemos usar uma desigualdade que simplifica o cálculo. Uma abordagem comum é considerar que a probabilidade máxima de qualquer evento ocorre quando cada tentativa é independente e tem a maior probabilidade possível. No nosso caso, como a probabilidade de dar cara é 0,20, podemos multiplicar essa probabilidade pelo número de tentativas para obter uma estimativa simples.
Ent��o, o limite seria:
Mas como estamos falando de probabilidades, que não podem ser maiores que 1 (ou 100%), precisamos ajustar isso. Na verdade, a melhor maneira de encontrar um limite é considerar que a probabilidade de obter exatamente 16 caras é muito baixa, e usamos uma aproximação conservadora.
Dessa forma, consideramos que o limite para essa probabilidade seja
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a probabilidade verdadeira de obter exatamente 16 caras em 20 lançamentos usando a distribuição Binomial. A fórmula da probabilidade Binomial é:
Onde:
-
é o número de tentativas, -
é o número de sucessos (caras), -
é a probabilidade de sucesso em cada tentativa.
Calculando:
Vamos simplificar isso:
Então:
Passo 5
Agora, vamos comparar o limite que encontramos (
) com a probabilidade verdadeira (
).
Como podemos ver, o limite
é muito maior que a probabilidade verdadeira de
. Isso mostra que o limite que usamos é bastante conservador e não é uma boa aproximação nesse caso específico.
Resposta
O limite para a probabilidade de obter exatamente 16 caras em 20 lançamentos é
. No entanto, a probabilidade verdadeira calculada usando a distribuição Binomial é aproximadamente
. Portanto, a aproximação do limite não é adequada para esse caso, já que o limite é muito maior que a probabilidade real.