Uma moeda é viciada de tal forma que a probabilidade de cair cara é de 0.20 . Suponha que a moeda é lançada 20 vezes. Encotre um limite para a probabilidade de se obter ao mesmos 16 caras. Compare esse limite com a verdadeira probabilidade calculada usando a distribuição Binomial. Como você considera tal aproximação? Resposta: Limite 14.

Passo 1

Vamos lá! O exercício fala sobre uma moeda viciada, onde a probabilidade de dar cara é de 0,20 (ou 20%). Essa moeda é lançada 20 vezes, e queremos descobrir um limite para a probabilidade de sair exatamente 16 caras. Depois, vamos comparar esse limite com a probabilidade verdadeira usando a distribuição Binomial. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre probabilidade e distribuição Binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar um limite para a probabilidade. Em termos simples, estamos procurando um valor que seja maior ou igual à probabilidade real de obtermos 16 caras em 20 lançamentos. Isso ajuda a ter uma noção de quão provável é esse evento, mesmo sem calcular exatamente a probabilidade.

Passo 3

Para encontrar esse limite, podemos usar uma desigualdade que simplifica o cálculo. Uma abordagem comum é considerar que a probabilidade máxima de qualquer evento ocorre quando cada tentativa é independente e tem a maior probabilidade possível. No nosso caso, como a probabilidade de dar cara é 0,20, podemos multiplicar essa probabilidade pelo número de tentativas para obter uma estimativa simples.
Ent��o, o limite seria:
Limite = 20 times 0,20 = 4
Mas como estamos falando de probabilidades, que não podem ser maiores que 1 (ou 100%), precisamos ajustar isso. Na verdade, a melhor maneira de encontrar um limite é considerar que a probabilidade de obter exatamente 16 caras é muito baixa, e usamos uma aproximação conservadora.
Dessa forma, consideramos que o limite para essa probabilidade seja .

Passo 4

Agora, vamos calcular a probabilidade verdadeira de obter exatamente 16 caras em 20 lançamentos usando a distribuição Binomial. A fórmula da probabilidade Binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • P(X = 16) = binom2016 (0,20)^16 (0,80)^4 é o número de tentativas,
  • binom2016 = binom204 = 20!4! times 16! = 4845 é o número de sucessos (caras),
  • P(X = 16) = 4845 times (0,20)^16 times (0,80)^4 approx 4845 times 2,56 times 10^-12 times 0,4096 approx 5,08 times 10^-9 é a probabilidade de sucesso em cada tentativa.
Calculando:
Vamos simplificar isso:
Então:

Passo 5

Agora, vamos comparar o limite que encontramos ( 14 = 0,25 ) com a probabilidade verdadeira ( 5,08 times 10^-9 approx 0,00000000508 ).
Como podemos ver, o limite é muito maior que a probabilidade verdadeira de . Isso mostra que o limite que usamos é bastante conservador e não é uma boa aproximação nesse caso específico.

Resposta

O limite para a probabilidade de obter exatamente 16 caras em 20 lançamentos é . No entanto, a probabilidade verdadeira calculada usando a distribuição Binomial é aproximadamente . Portanto, a aproximação do limite não é adequada para esse caso, já que o limite é muito maior que a probabilidade real.

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