De quantos modos n crianças podem formar uma roda de ciranda de modo que duas dessas crianças permaneçam juntas? E de modo que p(p dessas crianças permaneçam juntas?

Passo 1

O problema pede para descobrir de quantas maneiras n crianças podem formar uma roda de ciranda, com a condição de que duas delas, ou um grupo de p crianças ( p < n), permaneçam sempre juntas. Vamos abordar esse problema usando conceitos de permutação circular e entender como tratar grupos de crianças que devem ficar juntas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é permutação circular. Em uma permutação circular, os objetos são arranjados em um círculo, e consideramos que rotações que resultem na mesma disposição são equivalentes. A fórmula para calcular o número de permutações circulares de n elementos é:
(n - 1)!
Isso significa que, para n crianças, existem (n - 1)! maneiras de organizá-las em uma roda sem restrições.

Passo 3

Agora, vamos considerar o caso em que duas crianças devem permanecer juntas. Para resolver isso, podemos imaginar que essas duas crianças formam um único “bloco”. Assim, em vez de ter n entidades para organizar, temos:
  • 1 bloco (as duas crianças juntas)
  • (n - 2) crianças individuais
Totalizando (n - 1) entidades para organizar em círculo. Usando a fórmula da permutação circular:
(n - 2)!
No entanto, dentro do bloco, as duas crianças podem trocar de posição entre si, o que dá mais 2 possibilidades. Portanto, o total de maneiras é:
2 times (n - 2)!

Passo 4

Agora, vamos generalizar para o caso em que p crianças devem permanecer juntas ( p < n). Assim como antes, consideramos as p crianças como um único bloco. Então, temos:
  • 1 bloco (as p crianças juntas)
  • (n - p) crianças individuais
Totalizando (n - p + 1) entidades para organizar em círculo. A fórmula da permutação circular fica:
(n - p)!
Dentro do bloco de p crianças, elas podem se organizar de p! maneiras diferentes. Portanto, o total de maneiras é:
p! times (n - p)!

Resposta

  • Quando duas crianças devem permanecer juntas:
    2 times (n - 2)!
  • Quando p crianças devem permanecer juntas:
    p! times (n - p)!

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