De quantos modos
crianças podem formar uma roda de ciranda de modo que duas dessas crianças permaneçam juntas? E de modo que
dessas crianças permaneçam juntas?
Passo 1
O problema pede para descobrir de quantas maneiras
crianças podem formar uma roda de ciranda, com a condição de que duas delas, ou um grupo de
crianças (
), permaneçam sempre juntas. Vamos abordar esse problema usando conceitos de permutação circular e entender como tratar grupos de crianças que devem ficar juntas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é permutação circular. Em uma permutação circular, os objetos são arranjados em um círculo, e consideramos que rotações que resultem na mesma disposição são equivalentes. A fórmula para calcular o número de permutações circulares de
elementos é:
Isso significa que, para
crianças, existem
maneiras de organizá-las em uma roda sem restrições.
Passo 3
Agora, vamos considerar o caso em que duas crianças devem permanecer juntas. Para resolver isso, podemos imaginar que essas duas crianças formam um único “bloco”. Assim, em vez de ter
entidades para organizar, temos:
- 1 bloco (as duas crianças juntas)
-
crianças individuais
Totalizando
entidades para organizar em círculo. Usando a fórmula da permutação circular:
No entanto, dentro do bloco, as duas crianças podem trocar de posição entre si, o que dá mais 2 possibilidades. Portanto, o total de maneiras é:
Passo 4
Agora, vamos generalizar para o caso em que
crianças devem permanecer juntas (
). Assim como antes, consideramos as
crianças como um único bloco. Então, temos:
- 1 bloco (as
crianças juntas) -
crianças individuais
Totalizando
entidades para organizar em círculo. A fórmula da permutação circular fica:
Dentro do bloco de
crianças, elas podem se organizar de
maneiras diferentes. Portanto, o total de maneiras é:
Resposta
-
Quando duas crianças devem permanecer juntas:
-
Quando
crianças devem permanecer juntas: