São dados n pontos em círculo. Quantos u-ágonos (não necessariamente convexos) existem com vértices nesses pontos?

Passo 1

Então, temos um problema de combinatória aqui! A questão diz que temos n pontos distribuídos em um círculo e queremos saber quantos u-ágonos (polígonos com u lados, que podem ser convexos ou não) podemos formar usando esses pontos como vértices. Para resolver isso, vamos precisar entender como combinações funcionam, porque queremos selecionar u pontos dentre os n disponíveis.

Passo 2

Primeiro, pense que para formar um u-ágono, precisamos escolher u pontos dentre os n pontos do círculo. A ordem em que escolhemos esses pontos não importa, já que um polígono é definido apenas pelos seus vértices, não pela sequência em que são escolhidos.

Passo 3

Agora, vamos lembrar de uma fórmula básica da combinatória que nos ajuda a contar o número de maneiras de escolher u elementos de um conjunto de n elementos sem se preocupar com a ordem. Essa fórmula é a combinação, denotada por:
C(n, u) = dbinomnu = n!u! cdot (n - u)!
Aqui, “!” representa o fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número.

Passo 4

Aplicando essa fórmula ao nosso problema, substituímos n pelo número total de pontos no círculo e u pelo número de vértices que queremos no polígono. Assim, o número de u-ágonos possíveis é:
dbinomnu

Resposta

O número total de u-ágonos que podem ser formados é dbinomnu.

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