São dados
pontos em círculo. Quantos
-ágonos (não necessariamente convexos) existem com vértices nesses pontos?
Passo 1
Então, temos um problema de combinatória aqui! A questão diz que temos n pontos distribuídos em um círculo e queremos saber quantos u-ágonos (polígonos com u lados, que podem ser convexos ou não) podemos formar usando esses pontos como vértices. Para resolver isso, vamos precisar entender como combinações funcionam, porque queremos selecionar u pontos dentre os n disponíveis.
Passo 2
Primeiro, pense que para formar um u-ágono, precisamos escolher u pontos dentre os n pontos do círculo. A ordem em que escolhemos esses pontos não importa, já que um polígono é definido apenas pelos seus vértices, não pela sequência em que são escolhidos.
Passo 3
Agora, vamos lembrar de uma fórmula básica da combinatória que nos ajuda a contar o número de maneiras de escolher u elementos de um conjunto de n elementos sem se preocupar com a ordem. Essa fórmula é a combinação, denotada por:
Aqui, “!” representa o fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número.
Passo 4
Aplicando essa fórmula ao nosso problema, substituímos n pelo número total de pontos no círculo e u pelo número de vértices que queremos no polígono. Assim, o número de u-ágonos possíveis é:
Resposta
O número total de u-ágonos que podem ser formados é
.